MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetresbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xmetresbl 24298
Description: An extended metric restricted to any ball (in particular the infinity ball) is a proper metric. Together with xmetec 24295, this shows that any extended metric space can be "factored" into the disjoint union of proper metric spaces, with points in the same region measured by that region's metric, and points in different regions being distance +∞ from each other. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmetresbl.1 𝐡 = (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)
Assertion
Ref Expression
xmetresbl ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅))
Proof of Theorem xmetresbl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xmetresbl.1 . . . 4 𝐡 = (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)
3 blssm 24279 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋)
42, 3eqsstrid 4025 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
5 xmetres2 24222 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
61, 4, 5syl2anc 583 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
7 xmetf 24190 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
81, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
9 xpss12 5684 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
104, 4, 9syl2anc 583 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
118, 10fssresd 6752 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„*)
1211ffnd 6712 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
13 ovres 7570 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1413adantl 481 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
15 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (◑𝐷 β€œ ℝ) = (◑𝐷 β€œ ℝ)
1716xmeter 24294 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
1916blssec 24296 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
202, 19eqsstrid 4025 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 βŠ† [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2120sselda 3977 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2221adantrr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
23 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
24 elecg 8748 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯))
2522, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯)
2720sselda 3977 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2827adantrl 713 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
29 elecg 8748 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦))
3028, 23, 29syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦)
3218, 26, 31ertr3d 8723 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦)
3316xmeterval 24293 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
3415, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
3532, 34mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3635simp3d 1141 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3714, 36eqeltrd 2827 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ)
3837ralrimivva 3194 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ)
39 ffnov 7531 . . 3 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„ ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ))
4012, 38, 39sylanbrc 582 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„)
41 ismet2 24194 . 2 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„))
426, 40, 41sylanbrc 582 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   Er wer 8702  [cec 8703  β„cr 11111  β„*cxr 11251  βˆžMetcxmet 21225  Metcmet 21226  ballcbl 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator