MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetresbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xmetresbl 24361
Description: An extended metric restricted to any ball (in particular the infinity ball) is a proper metric. Together with xmetec 24358, this shows that any extended metric space can be "factored" into the disjoint union of proper metric spaces, with points in the same region measured by that region's metric, and points in different regions being distance +∞ from each other. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmetresbl.1 𝐡 = (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)
Assertion
Ref Expression
xmetresbl ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅))
Proof of Theorem xmetresbl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xmetresbl.1 . . . 4 𝐡 = (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)
3 blssm 24342 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋)
42, 3eqsstrid 4021 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
5 xmetres2 24285 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
61, 4, 5syl2anc 582 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
7 xmetf 24253 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
81, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
9 xpss12 5687 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
104, 4, 9syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
118, 10fssresd 6759 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„*)
1211ffnd 6718 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
13 ovres 7584 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1413adantl 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
15 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (◑𝐷 β€œ ℝ) = (◑𝐷 β€œ ℝ)
1716xmeter 24357 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
1916blssec 24359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
202, 19eqsstrid 4021 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 βŠ† [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2120sselda 3972 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2221adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
23 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
24 elecg 8766 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯))
2522, 23, 24syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯)
2720sselda 3972 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2827adantrl 714 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
29 elecg 8766 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦))
3028, 23, 29syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦)
3218, 26, 31ertr3d 8741 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦)
3316xmeterval 24356 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
3415, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
3532, 34mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3635simp3d 1141 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3714, 36eqeltrd 2825 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ)
3837ralrimivva 3191 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ)
39 ffnov 7544 . . 3 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„ ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ))
4012, 38, 39sylanbrc 581 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„)
41 ismet2 24257 . 2 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„))
426, 40, 41sylanbrc 581 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   Er wer 8720  [cec 8721  β„cr 11137  β„*cxr 11277  βˆžMetcxmet 21268  Metcmet 21269  ballcbl 21270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-er 8723  df-ec 8725  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator