MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetresbl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xmetresbl 23934
Description: An extended metric restricted to any ball (in particular the infinity ball) is a proper metric. Together with xmetec 23931, this shows that any extended metric space can be "factored" into the disjoint union of proper metric spaces, with points in the same region measured by that region's metric, and points in different regions being distance +∞ from each other. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmetresbl.1 𝐡 = (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)
Assertion
Ref Expression
xmetresbl ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅))
Proof of Theorem xmetresbl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xmetresbl.1 . . . 4 𝐡 = (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅)
3 blssm 23915 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† 𝑋)
42, 3eqsstrid 4029 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
5 xmetres2 23858 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
61, 4, 5syl2anc 584 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
7 xmetf 23826 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
81, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
9 xpss12 5690 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐡 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
104, 4, 9syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
118, 10fssresd 6755 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„*)
1211ffnd 6715 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
13 ovres 7569 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
1413adantl 482 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) = (π‘₯𝐷𝑦))
15 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
16 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (◑𝐷 β€œ ℝ) = (◑𝐷 β€œ ℝ)
1716xmeter 23930 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (◑𝐷 β€œ ℝ) Er 𝑋)
1916blssec 23932 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) βŠ† [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
202, 19eqsstrid 4029 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐡 βŠ† [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2120sselda 3981 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2221adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
23 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
24 elecg 8742 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯))
2522, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)π‘₯)
2720sselda 3981 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
2827adantrl 714 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ))
29 elecg 8742 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦))
3028, 23, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ [𝑃](◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦)
3218, 26, 31ertr3d 8717 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦)
3316xmeterval 23929 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
3415, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(◑𝐷 β€œ ℝ)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)))
3532, 34mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ))
3635simp3d 1144 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3714, 36eqeltrd 2833 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ)
3837ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ)
39 ffnov 7531 . . 3 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„ ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))𝑦) ∈ ℝ))
4012, 38, 39sylanbrc 583 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„)
41 ismet2 23830 . 2 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)):(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„))
426, 40, 41sylanbrc 583 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ (Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   Er wer 8696  [cec 8697  β„cr 11105  β„*cxr 11243  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  ballcbl 20923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator