Theorem isbndx 37806

Description: A "bounded extended metric" (meaning that it satisfies the same condition as a bounded metric, but with "metric" replaced with "extended metric") is a metric and thus is bounded in the conventional sense. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbndx	⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbndx

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbnd 37804	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
2		metxmet 24273	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		xmetf 24268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5		ffn 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
7		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
8		rpxr 13018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
9		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (◡𝑀 “ ℝ) = (◡𝑀 “ ℝ)
10	9	blssec 24374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
11	10	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
12	8, 11	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
13	12	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
14	7, 13	eqsstrd 3993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
15	14	sselda 3958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
16		vex 3463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		vex 3463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	16, 17	elec 8765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ) ↔ 𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦)
19	15, 18	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦)
20	9	xmeterval 24371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
21	20	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
22	19, 21	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
23	22	simp3d 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
24	23	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
25	24	rexlimdvaa 3142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
26	25	ralimdva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
27	26	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
28		ffnov 7533	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
29	6, 27, 28	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
30		ismet2 24272	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
31	3, 29, 30	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
32	31	ex 412	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋)))
33	2, 32	impbid2 226	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)))
34	33	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
35	1, 34	bitri 275	1 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  [cec 8717  ℝcr 11128  ℝ^*cxr 11268  ℝ⁺crp 13008  ∞Metcxmet 21300  Metcmet 21301  ballcbl 21302  Bndcbnd 37791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-ec 8721  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-2 12303  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-bnd 37803

This theorem is referenced by:  isbnd2  37807  blbnd  37811  ismtybndlem  37830