Theorem isbndx 38030

Description: A "bounded extended metric" (meaning that it satisfies the same condition as a bounded metric, but with "metric" replaced with "extended metric") is a metric and thus is bounded in the conventional sense. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbndx	⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbndx

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbnd 38028	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
2		metxmet 24290	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		xmetf 24285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5		ffn 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
7		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
8		rpxr 12927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (◡𝑀 “ ℝ) = (◡𝑀 “ ℝ)
10	9	blssec 24391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
11	10	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
12	8, 11	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
13	12	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
14	7, 13	eqsstrd 3970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
15	14	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
16		vex 3446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		vex 3446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	16, 17	elec 8692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ) ↔ 𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦)
19	15, 18	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦)
20	9	xmeterval 24388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
21	20	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
22	19, 21	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
23	22	simp3d 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
24	23	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
25	24	rexlimdvaa 3140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
26	25	ralimdva 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
27	26	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
28		ffnov 7494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
29	6, 27, 28	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
30		ismet2 24289	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
31	3, 29, 30	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
32	31	ex 412	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋)))
33	2, 32	impbid2 226	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)))
34	33	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
35	1, 34	bitri 275	1 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  [cec 8643  ℝcr 11037  ℝ^*cxr 11177  ℝ⁺crp 12917  ∞Metcxmet 21306  Metcmet 21307  ballcbl 21308  Bndcbnd 38015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-ec 8647  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-2 12220  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-bnd 38027

This theorem is referenced by:  isbnd2  38031  blbnd  38035  ismtybndlem  38054