Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbndx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbndx 34941
Description: A "bounded extended metric" (meaning that it satisfies the same condition as a bounded metric, but with "metric" replaced with "extended metric") is a metric and thus is bounded in the conventional sense. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbndx (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbndx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbnd 34939 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
2 metxmet 22871 . . . 4 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 simpr 485 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4 xmetf 22866 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5 ffn 6507 . . . . . . . 8 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
7 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
8 rpxr 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 “ ℝ) = (𝑀 “ ℝ)
109blssec 22972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
11103expa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
128, 11sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
1312adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
147, 13eqsstrd 4002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
1514sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
16 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
17 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
1816, 17elec 8322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ [𝑥](𝑀 “ ℝ) ↔ 𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦)
1915, 18sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦)
209xmeterval 22969 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
2120ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
2219, 21mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2322simp3d 1136 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
2423ralrimiva 3179 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
2524rexlimdvaa 3282 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2625ralimdva 3174 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2726impcom 408 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
28 ffnov 7267 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
296, 27, 28sylanbrc 583 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
30 ismet2 22870 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
313, 29, 30sylanbrc 583 . . . . 5 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
3231ex 413 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋)))
332, 32impbid2 227 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)))
3433pm5.32ri 576 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
351, 34bitri 276 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057   × cxp 5546  ccnv 5547  cima 5551   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  [cec 8276  cr 10524  *cxr 10662  +crp 12377  ∞Metcxmet 20458  Metcmet 20459  ballcbl 20460  Bndcbnd 34926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-ec 8280  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-bnd 34938
This theorem is referenced by:  isbnd2  34942  blbnd  34946  ismtybndlem  34965
  Copyright terms: Public domain W3C validator