Theorem isbndx 35526

Description: A "bounded extended metric" (meaning that it satisfies the same condition as a bounded metric, but with "metric" replaced with "extended metric") is a metric and thus is bounded in the conventional sense. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbndx	⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbndx

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbnd 35524	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
2		metxmet 23041	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		xmetf 23036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5		ffn 6502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
7		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
8		rpxr 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
9		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (◡𝑀 “ ℝ) = (◡𝑀 “ ℝ)
10	9	blssec 23142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
11	10	3expa 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
12	8, 11	sylan2 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
13	12	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
14	7, 13	eqsstrd 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
15	14	sselda 3894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
16		vex 3413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		vex 3413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	16, 17	elec 8348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ) ↔ 𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦)
19	15, 18	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦)
20	9	xmeterval 23139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
21	20	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
22	19, 21	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
23	22	simp3d 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
24	23	ralrimiva 3113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
25	24	rexlimdvaa 3209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
26	25	ralimdva 3108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
27	26	impcom 411	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
28		ffnov 7278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
29	6, 27, 28	sylanbrc 586	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
30		ismet2 23040	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
31	3, 29, 30	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
32	31	ex 416	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋)))
33	2, 32	impbid2 229	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)))
34	33	pm5.32ri 579	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
35	1, 34	bitri 278	1 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5035   × cxp 5525  ^◡ccnv 5526   “ cima 5530   Fn wfn 6334  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  [cec 8302  ℝcr 10579  ℝ^*cxr 10717  ℝ⁺crp 12435  ∞Metcxmet 20156  Metcmet 20157  ballcbl 20158  Bndcbnd 35511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-er 8304  df-ec 8306  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-2 11742  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-bnd 35523

This theorem is referenced by:  isbnd2  35527  blbnd  35531  ismtybndlem  35550