Theorem isbndx 35984

Description: A "bounded extended metric" (meaning that it satisfies the same condition as a bounded metric, but with "metric" replaced with "extended metric") is a metric and thus is bounded in the conventional sense. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isbndx	⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbndx

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbnd 35982	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
2		metxmet 23532	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		xmetf 23527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5		ffn 6630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
7		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
8		rpxr 12785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (◡𝑀 “ ℝ) = (◡𝑀 “ ℝ)
10	9	blssec 23633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
11	10	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
12	8, 11	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
13	12	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
14	7, 13	eqsstrd 3964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 ⊆ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
15	14	sselda 3926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ))
16		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	16, 17	elec 8573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ [𝑥](◡𝑀 “ ℝ) ↔ 𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦)
19	15, 18	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦)
20	9	xmeterval 23630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
21	20	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(◡𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
22	19, 21	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
23	22	simp3d 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
24	23	ralrimiva 3140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
25	24	rexlimdvaa 3150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
26	25	ralimdva 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
27	26	impcom 409	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
28		ffnov 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
29	6, 27, 28	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
30		ismet2 23531	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
31	3, 29, 30	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
32	31	ex 414	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋)))
33	2, 32	impbid2 225	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)))
34	33	pm5.32ri 577	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
35	1, 34	bitri 275	1 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5081   × cxp 5598  ^◡ccnv 5599   “ cima 5603   Fn wfn 6453  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  [cec 8527  ℝcr 10916  ℝ^*cxr 11054  ℝ⁺crp 12776  ∞Metcxmet 20627  Metcmet 20628  ballcbl 20629  Bndcbnd 35969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-er 8529  df-ec 8531  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-2 12082  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-bnd 35981

This theorem is referenced by:  isbnd2  35985  blbnd  35989  ismtybndlem  36008