Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbndx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbndx 34613
Description: A "bounded extended metric" (meaning that it satisfies the same condition as a bounded metric, but with "metric" replaced with "extended metric") is a metric and thus is bounded in the conventional sense. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbndx (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbndx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbnd 34611 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
2 metxmet 22631 . . . 4 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 simpr 485 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4 xmetf 22626 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5 ffn 6389 . . . . . . . 8 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
7 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
8 rpxr 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9 eqid 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 “ ℝ) = (𝑀 “ ℝ)
109blssec 22732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
11103expa 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
128, 11sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
1312adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
147, 13eqsstrd 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
1514sselda 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
16 vex 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
17 vex 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
1816, 17elec 8190 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ [𝑥](𝑀 “ ℝ) ↔ 𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦)
1915, 18sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦)
209xmeterval 22729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
2120ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
2219, 21mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2322simp3d 1137 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
2423ralrimiva 3151 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
2524rexlimdvaa 3250 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2625ralimdva 3146 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2726impcom 408 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
28 ffnov 7141 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
296, 27, 28sylanbrc 583 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
30 ismet2 22630 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
313, 29, 30sylanbrc 583 . . . . 5 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
3231ex 413 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋)))
332, 32impbid2 227 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)))
3433pm5.32ri 576 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
351, 34bitri 276 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108  wss 3865   class class class wbr 4968   × cxp 5448  ccnv 5449  cima 5453   Fn wfn 6227  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  [cec 8144  cr 10389  *cxr 10527  +crp 12243  ∞Metcxmet 20216  Metcmet 20217  ballcbl 20218  Bndcbnd 34598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-er 8146  df-ec 8148  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-2 11554  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-bnd 34610
This theorem is referenced by:  isbnd2  34614  blbnd  34618  ismtybndlem  34637
  Copyright terms: Public domain W3C validator