Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbndx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbndx 37190
Description: A "bounded extended metric" (meaning that it satisfies the same condition as a bounded metric, but with "metric" replaced with "extended metric") is a metric and thus is bounded in the conventional sense. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbndx (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑀   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem isbndx
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbnd 37188 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
2 metxmet 24227 . . . 4 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 simpr 484 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
4 xmetf 24222 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
5 ffn 6716 . . . . . . . 8 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
7 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))
8 rpxr 13007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
9 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 “ ℝ) = (𝑀 “ ℝ)
109blssec 24328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
11103expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
128, 11sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
1312adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
147, 13eqsstrd 4016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → 𝑋 ⊆ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
1514sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ [𝑥](𝑀 “ ℝ))
16 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
17 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
1816, 17elec 8763 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ [𝑥](𝑀 “ ℝ) ↔ 𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦)
1915, 18sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦)
209xmeterval 24325 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
2120ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥(𝑀 “ ℝ)𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)))
2219, 21mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑋𝑦𝑋 ∧ (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2322simp3d 1142 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
2423ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟))) → ∀𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
2524rexlimdvaa 3151 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2625ralimdva 3162 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
2726impcom 407 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ)
28 ffnov 7541 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝑀𝑦) ∈ ℝ))
296, 27, 28sylanbrc 582 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
30 ismet2 24226 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
313, 29, 30sylanbrc 582 . . . . 5 ((∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) ∧ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
3231ex 412 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋)))
332, 32impbid2 225 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟) → (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ↔ 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋)))
3433pm5.32ri 575 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
351, 34bitri 275 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+ 𝑋 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065  wss 3944   class class class wbr 5142   × cxp 5670  ccnv 5671  cima 5675   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  [cec 8716  cr 11129  *cxr 11269  +crp 12998  ∞Metcxmet 21251  Metcmet 21252  ballcbl 21253  Bndcbnd 37175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-2 12297  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-bnd 37187
This theorem is referenced by:  isbnd2  37191  blbnd  37195  ismtybndlem  37214
  Copyright terms: Public domain W3C validator