Theorem blres 24755

Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
blres.2	⊢ 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
blres	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem blres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑌)
2		blres.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
3	2	oveqi 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥)
4		ovres 7586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
5	3, 4	eqtrid 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
6	1, 5	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
7	6	breq1d 5112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑃𝐶𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
8	7	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
9	8	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
10	9	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
11		elin 4093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
12	11	biancomi 468	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅))
14		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
15	13, 14	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
16		ancom 466	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
17	10, 15, 16	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
18		xmetres 24688	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
19	2, 18	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
20		elbl 24712	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
21	19, 20	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
22		elin 4093	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
23		elinel1 4098	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑋)
24		elbl 24712	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
25	23, 24	syl3an2 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
26	25	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
27	22, 26	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
28	17, 21, 27	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌)))
29	28	eqrdv 2758	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4089   class class class wbr 5102   × cxp 5648   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346  ∞Metcxmet 21668  ballcbl 21670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8852  df-xr 11350  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-bl 21678

This theorem is used by:  metrest  24848  xrsmopn  25137  lebnumii  25292  blssp  38783  sstotbnd2  38801  blbnd  38814  ssbnd  38815  iooabslt  46604