MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blres 22968
Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blres.2 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
Assertion
Ref Expression
blres ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem blres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4170 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑃𝑌)
2 blres.2 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
32oveqi 7158 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥)
4 ovres 7303 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑌𝑥𝑌) → (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
53, 4syl5eq 2865 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑌𝑥𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
61, 5sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
76breq1d 5067 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝑃𝐶𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
87anbi2d 628 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
98pm5.32da 579 . . . . 5 (𝑃 ∈ (𝑋𝑌) → ((𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
1093ad2ant2 1126 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
11 elin 4166 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑌))
1211biancomi 463 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑥𝑌𝑥𝑋))
1312anbi1i 623 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥𝑌𝑥𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅))
14 anass 469 . . . . 5 (((𝑥𝑌𝑥𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
1513, 14bitri 276 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
16 ancom 461 . . . 4 (((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
1710, 15, 163bitr4g 315 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌)))
18 xmetres 22901 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
192, 18eqeltrid 2914 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
20 elbl 22925 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
2119, 20syl3an1 1155 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
22 elin 4166 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥𝑌))
23 elinel1 4169 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑃𝑋)
24 elbl 22925 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
2523, 24syl3an2 1156 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
2625anbi1d 629 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥𝑌) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌)))
2722, 26syl5bb 284 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌)))
2817, 21, 273bitr4d 312 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌)))
2928eqrdv 2816 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932   class class class wbr 5057   × cxp 5546  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  *cxr 10662   < clt 10663  ∞Metcxmet 20458  ballcbl 20460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-map 8397  df-xr 10667  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-bl 20468
This theorem is referenced by:  metrest  23061  xrsmopn  23347  lebnumii  23497  blssp  34912  sstotbnd2  34933  blbnd  34946  ssbnd  34947  iooabslt  41650
  Copyright terms: Public domain W3C validator