Theorem blres 24457

Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
blres.2	⊢ 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
blres	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem blres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑌)
2		blres.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
3	2	oveqi 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥)
4		ovres 7599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
5	3, 4	eqtrid 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
6	1, 5	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
7	6	breq1d 5158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑃𝐶𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
8	7	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
9	8	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
10	9	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
11		elin 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
12	11	biancomi 462	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅))
14		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
15	13, 14	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
16		ancom 460	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
17	10, 15, 16	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
18		xmetres 24390	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
19	2, 18	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
20		elbl 24414	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
21	19, 20	syl3an1 1162	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
22		elin 3979	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
23		elinel1 4211	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑋)
24		elbl 24414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
25	23, 24	syl3an2 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
26	25	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
27	22, 26	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
28	17, 21, 27	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌)))
29	28	eqrdv 2733	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   class class class wbr 5148   × cxp 5687   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-xr 11297  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377

This theorem is referenced by:  metrest  24553  xrsmopn  24848  lebnumii  25012  blssp  37743  sstotbnd2  37761  blbnd  37774  ssbnd  37775  iooabslt  45452