Theorem blres 24462

Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
blres.2	⊢ 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
blres	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem blres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑌)
2		blres.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
3	2	oveqi 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥)
4		ovres 7616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
5	3, 4	eqtrid 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
6	1, 5	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
7	6	breq1d 5176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑃𝐶𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
8	7	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
9	8	pm5.32da 578	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
10	9	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
11		elin 3992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
12	11	biancomi 462	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	anbi1i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅))
14		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
15	13, 14	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
16		ancom 460	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
17	10, 15, 16	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
18		xmetres 24395	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
19	2, 18	eqeltrid 2848	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
20		elbl 24419	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
21	19, 20	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
22		elin 3992	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
23		elinel1 4224	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑋)
24		elbl 24419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
25	23, 24	syl3an2 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
26	25	anbi1d 630	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
27	22, 26	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
28	17, 21, 27	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌)))
29	28	eqrdv 2738	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   class class class wbr 5166   × cxp 5698   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  ∞Metcxmet 21372  ballcbl 21374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886  df-xr 11328  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-bl 21382

This theorem is referenced by:  metrest  24558  xrsmopn  24853  lebnumii  25017  blssp  37716  sstotbnd2  37734  blbnd  37747  ssbnd  37748  iooabslt  45417