MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blres 24257
Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blres.2 𝐢 = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
blres ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑅) = ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ π‘Œ))
Proof of Theorem blres
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 4196 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ π‘Œ)
2 blres.2 . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
32oveqi 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐢π‘₯) = (𝑃(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))π‘₯)
4 ovres 7577 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑃(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))π‘₯) = (𝑃𝐷π‘₯))
53, 4eqtrid 2783 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑃𝐢π‘₯) = (𝑃𝐷π‘₯))
61, 5sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑃𝐢π‘₯) = (𝑃𝐷π‘₯))
76breq1d 5158 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅))
87anbi2d 628 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
98pm5.32da 578 . . . . 5 (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅))))
1093ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅))))
11 elin 3964 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
1211biancomi 462 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋))
1312anbi1i 623 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅) ↔ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅))
14 anass 468 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)))
1513, 14bitri 275 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)))
16 ancom 460 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
1710, 15, 163bitr4g 314 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ)))
18 xmetres 24190 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
192, 18eqeltrid 2836 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
20 elbl 24214 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)))
2119, 20syl3an1 1162 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)))
22 elin 3964 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
23 elinel1 4195 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
24 elbl 24214 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
2523, 24syl3an2 1163 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
2625anbi1d 629 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ)))
2722, 26bitrid 283 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ π‘Œ) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ)))
2817, 21, 273bitr4d 311 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑅) ↔ π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ π‘Œ)))
2928eqrdv 2729 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑅) = ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„*cxr 11254   < clt 11255  βˆžMetcxmet 21218  ballcbl 21220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8828  df-xr 11259  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-bl 21228
This theorem is referenced by:  metrest  24353  xrsmopn  24648  lebnumii  24812  blssp  37088  sstotbnd2  37106  blbnd  37119  ssbnd  37120  iooabslt  44671
  Copyright terms: Public domain W3C validator