Theorem blres 24326

Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
blres.2	⊢ 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
blres	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem blres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑌)
2		blres.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
3	2	oveqi 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥)
4		ovres 7558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
5	3, 4	eqtrid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
6	1, 5	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
7	6	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑃𝐶𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
8	7	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
9	8	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
10	9	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
11		elin 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
12	11	biancomi 462	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅))
14		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
15	13, 14	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
16		ancom 460	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
17	10, 15, 16	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
18		xmetres 24259	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
19	2, 18	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
20		elbl 24283	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
21	19, 20	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
22		elin 3933	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
23		elinel1 4167	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑋)
24		elbl 24283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
25	23, 24	syl3an2 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
26	25	anbi1d 631	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
27	22, 26	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
28	17, 21, 27	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌)))
29	28	eqrdv 2728	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916   class class class wbr 5110   × cxp 5639   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  ∞Metcxmet 21256  ballcbl 21258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8804  df-xr 11219  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-bl 21266

This theorem is referenced by:  metrest  24419  xrsmopn  24708  lebnumii  24872  blssp  37757  sstotbnd2  37775  blbnd  37788  ssbnd  37789  iooabslt  45504