Theorem blres 24783

Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
blres.2	⊢ 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
blres	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem blres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑌)
2		blres.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
3	2	oveqi 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥)
4		ovres 7613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
5	3, 4	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
6	1, 5	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
7	6	breq1d 5116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑃𝐶𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
8	7	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
9	8	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
10	9	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
11		elin 4096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
12	11	biancomi 468	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅))
14		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
15	13, 14	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
16		ancom 466	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
17	10, 15, 16	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
18		xmetres 24716	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
19	2, 18	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
20		elbl 24740	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
21	19, 20	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
22		elin 4096	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌))
23		elinel1 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑃 ∈ 𝑋)
24		elbl 24740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
25	23, 24	syl3an2 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
26	25	anbi1d 643	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
27	22, 26	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑌)))
28	17, 21, 27	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌)))
29	28	eqrdv 2761	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106   × cxp 5654   ↾ cres 5658  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373  ∞Metcxmet 21696  ballcbl 21698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-map 8880  df-xr 11377  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-bl 21706

This theorem is used by:  metrest  24876  xrsmopn  25165  lebnumii  25320  blssp  38893  sstotbnd2  38911  blbnd  38924  ssbnd  38925  iooabslt  46726