Theorem xrsblre 24938

Description: Any ball of the metric of the extended reals centered on an element of ℝ is entirely contained in ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsxmet.1	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsblre	⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrsblre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11255	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℝ*)
2		xrsxmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
3	2	xrsxmet 24936	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) = (◡𝐷 “ ℝ)
5	4	blssec 24561	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
6	3, 5	mp3an1 1474	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
7	1, 6	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
8		vex 3467	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑃 ∈ ℝ)
10		elecg 8739	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥))
11	8, 9, 10	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥))
12	4	xmeterval 24558	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
13	3, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ))
14		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
15		simplll 786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simplr3 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18		simplr1 1232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ*)
19		simplr2 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑥)
21	2	xrsdsreclb 21533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
23	17, 22	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
24	23	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	16, 24	pm2.61dane 3051	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	25	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
27	13, 26	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 → 𝑥 ∈ ℝ))
28	11, 27	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
29	28	ssrdv 3951	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ⊆ ℝ)
30	7, 29	sstrd 3955	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  [cec 8692  ℝcr 11099  ℝ^*cxr 11242  distcds 17319  ℝ^*_𝑠cxrs 17554  ∞Metcxmet 21476  ballcbl 21478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-ec 8696  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-icc 13379  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-xrs 17556  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-bl 21486

This theorem is referenced by:  xrsmopn  24939