Theorem xrsblre 24791

Description: Any ball of the metric of the extended reals centered on an element of ℝ is entirely contained in ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsxmet.1	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsblre	⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrsblre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11186	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℝ*)
2		xrsxmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
3	2	xrsxmet 24789	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) = (◡𝐷 “ ℝ)
5	4	blssec 24414	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
6	3, 5	mp3an1 1451	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
7	1, 6	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
8		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑃 ∈ ℝ)
10		elecg 8683	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥))
11	8, 9, 10	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥))
12	4	xmeterval 24411	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
13	3, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ))
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
15		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simplr3 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18		simplr1 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ*)
19		simplr2 1218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑥)
21	2	xrsdsreclb 21407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
23	17, 22	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
24	23	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	16, 24	pm2.61dane 3020	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
27	13, 26	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 → 𝑥 ∈ ℝ))
28	11, 27	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
29	28	ssrdv 3928	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ⊆ ℝ)
30	7, 29	sstrd 3933	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5625   “ cima 5629  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  [cec 8636  ℝcr 11032  ℝ^*cxr 11173  distcds 17224  ℝ^*_𝑠cxrs 17459  ∞Metcxmet 21333  ballcbl 21335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-ec 8640  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-icc 13300  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-xrs 17461  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-bl 21343

This theorem is referenced by:  xrsmopn  24792