Theorem xrsblre 25146

Description: Any ball of the metric of the extended reals centered on an element of ℝ is entirely contained in ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsxmet.1	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsblre	⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrsblre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11368	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℝ*)
2		xrsxmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
3	2	xrsxmet 25144	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) = (◡𝐷 “ ℝ)
5	4	blssec 24769	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
6	3, 5	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
7	1, 6	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
8		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑃 ∈ ℝ)
10		elecg 8776	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥))
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥))
12	4	xmeterval 24766	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
13	3, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ))
14		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
15		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simplr3 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18		simplr1 1234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ*)
19		simplr2 1235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑥)
21	2	xrsdsreclb 21735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
23	17, 22	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
24	23	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	16, 24	pm2.61dane 3046	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
27	13, 26	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 → 𝑥 ∈ ℝ))
28	11, 27	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
29	28	ssrdv 3919	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ⊆ ℝ)
30	7, 29	sstrd 3923	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  [cec 8729  ℝcr 11212  ℝ^*cxr 11355  distcds 17452  ℝ^*_𝑠cxrs 17687  ∞Metcxmet 21678  ballcbl 21680

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-ec 8733  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-icc 13496  df-fz 13653  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-struct 17340  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-xrs 17689  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-bl 21688

This theorem is used by:  xrsmopn  25147