Theorem xrsblre 24796

Description: Any ball of the metric of the extended reals centered on an element of ℝ is entirely contained in ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsxmet.1	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsblre	⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrsblre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11183	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℝ*)
2		xrsxmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
3	2	xrsxmet 24794	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) = (◡𝐷 “ ℝ)
5	4	blssec 24419	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
6	3, 5	mp3an1 1456	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
7	1, 6	sylan 586	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
8		vex 3435	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑃 ∈ ℝ)
10		elecg 8679	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥))
11	8, 9, 10	sylancr 593	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥))
12	4	xmeterval 24416	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
13	3, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ))
14		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
15		simplll 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simplr3 1224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18		simplr1 1222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ*)
19		simplr2 1223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑥)
21	2	xrsdsreclb 21390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
23	17, 22	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
24	23	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	16, 24	pm2.61dane 3021	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	25	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
27	13, 26	biimtrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 → 𝑥 ∈ ℝ))
28	11, 27	sylbid 241	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
29	28	ssrdv 3921	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ⊆ ℝ)
30	7, 29	sstrd 3925	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5073  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  [cec 8632  ℝcr 11029  ℝ^*cxr 11170  distcds 17221  ℝ^*_𝑠cxrs 17456  ∞Metcxmet 21333  ballcbl 21335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-ec 8636  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-icc 13297  df-fz 13454  df-seq 13956  df-exp 14016  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-xrs 17458  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-bl 21343

This theorem is referenced by:  xrsmopn  24797