Theorem xrsblre 25131

Description: Any ball of the metric of the extended reals centered on an element of ℝ is entirely contained in ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsxmet.1	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsblre	⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrsblre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11355	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℝ*)
2		xrsxmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
3	2	xrsxmet 25129	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (◡𝐷 “ ℝ) = (◡𝐷 “ ℝ)
5	4	blssec 24754	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
6	3, 5	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
7	1, 6	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ))
8		vex 3455	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑃 ∈ ℝ)
10		elecg 8762	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥))
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥))
12	4	xmeterval 24751	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*) → (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
13	3, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ))
14		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 = 𝑥)
15		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		simplr3 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)
18		simplr1 1234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ∈ ℝ*)
19		simplr2 1235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑃 ≠ 𝑥)
21	2	xrsdsreclb 21720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
23	17, 22	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
24	23	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) ∧ 𝑃 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	16, 24	pm2.61dane 3043	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
27	13, 26	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(◡𝐷 “ ℝ)𝑥 → 𝑥 ∈ ℝ))
28	11, 27	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ))
29	28	ssrdv 3937	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → [𝑃](◡𝐷 “ ℝ) ⊆ ℝ)
30	7, 29	sstrd 3941	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  [cec 8715  ℝcr 11199  ℝ^*cxr 11342  distcds 17437  ℝ^*_𝑠cxrs 17672  ∞Metcxmet 21663  ballcbl 21665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-icc 13483  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-xrs 17674  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-bl 21673

This theorem is used by:  xrsmopn  25132