Theorem xmetec 24494

Description: The equivalence classes under the finite separation equivalence relation are infinity balls. Thus, by erdisj 8736, infinity balls are either identical or disjoint, quite unlike the usual situation with Euclidean balls which admit many kinds of overlap. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmetec	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem xmetec

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmeter.1	. . . . 5 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
2	1	xmeterval 24492	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 ∼ 𝑥 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
3		3anass 1106	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
4	3	baib 543	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
5	2, 4	sylan9bb 517	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∼ 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
6		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑥 ∈ V)
8		elecg 8723	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑃 ∼ 𝑥))
9	7, 8	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑃 ∼ 𝑥))
10		xblpnf 24456	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
11	5, 9, 10	3bitr4d 313	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] ∼ ↔ 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
12	11	eqrdv 2760	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → [𝑃] ∼ = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  [cec 8676  ℝcr 11072  +∞cpnf 11213  ∞Metcxmet 21409  ballcbl 21411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-ec 8680  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-bl 21419

This theorem is referenced by:  blssec  24495  blpnfctr  24496