MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetec 24460
Description: The equivalence classes under the finite separation equivalence relation are infinity balls. Thus, by erdisj 8798, infinity balls are either identical or disjoint, quite unlike the usual situation with Euclidean balls which admit many kinds of overlap. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 = (𝐷 “ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xmetec ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → [𝑃] = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem xmetec
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmeter.1 . . . . 5 = (𝐷 “ ℝ)
21xmeterval 24458 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑃 𝑥 ↔ (𝑃𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
3 3anass 1094 . . . . 5 ((𝑃𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
43baib 535 . . . 4 (𝑃𝑋 → ((𝑃𝑋𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
52, 4sylan9bb 509 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃 𝑥 ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
6 vex 3482 . . . . 5 𝑥 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑥 ∈ V)
8 elecg 8788 . . . 4 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] 𝑃 𝑥))
97, 8sylan 580 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] 𝑃 𝑥))
10 xblpnf 24422 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ)))
115, 9, 103bitr4d 311 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑥 ∈ [𝑃] 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
1211eqrdv 2733 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → [𝑃] = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742  cr 11152  +∞cpnf 11290  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-ec 8746  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377
This theorem is referenced by:  blssec  24461  blpnfctr  24462
  Copyright terms: Public domain W3C validator