Theorem xmetres 24306

Description: A restriction of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetres	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))

Proof of Theorem xmetres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24271	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fdm 6669	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3		metreslem 24304	. . 3 ⊢ (dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))))
5		inss1 4187	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑅) ⊆ 𝑋
6		xmetres2 24303	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑋 ∩ 𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))
7	5, 6	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋 ∩ 𝑅) × (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))
8	4, 7	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   × cxp 5620  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  ℝ^*cxr 11163  ∞Metcxmet 21292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8763  df-xr 11168  df-xmet 21300

This theorem is referenced by:  blres  24373  ressxms  24467  cfilresi  25249  caussi  25251  causs  25252  minvecolem4a  30901