MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xmetres 24091
Description: A restriction of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ 𝑅)))
Proof of Theorem xmetres
StepHypRef Expression
1 xmetf 24056 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
2 fdm 6726 . . 3 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
3 metreslem 24089 . . 3 (dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) = (𝐷 β†Ύ ((𝑋 ∩ 𝑅) Γ— (𝑋 ∩ 𝑅))))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) = (𝐷 β†Ύ ((𝑋 ∩ 𝑅) Γ— (𝑋 ∩ 𝑅))))
5 inss1 4228 . . 3 (𝑋 ∩ 𝑅) βŠ† 𝑋
6 xmetres2 24088 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑋 ∩ 𝑅) βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ ((𝑋 ∩ 𝑅) Γ— (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ 𝑅)))
75, 6mpan2 688 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ ((𝑋 ∩ 𝑅) Γ— (𝑋 ∩ 𝑅))) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ 𝑅)))
84, 7eqeltrd 2832 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„*cxr 11252  βˆžMetcxmet 21130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8825  df-xr 11257  df-xmet 21138
This theorem is referenced by:  blres  24158  ressxms  24255  cfilresi  25044  caussi  25046  causs  25047  minvecolem4a  30398
  Copyright terms: Public domain W3C validator