MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetres 24374
Description: A restriction of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑅)))

Proof of Theorem xmetres
StepHypRef Expression
1 xmetf 24339 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 fdm 6745 . . 3 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3 metreslem 24372 . . 3 (dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))))
5 inss1 4237 . . 3 (𝑋𝑅) ⊆ 𝑋
6 xmetres2 24371 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑅)))
75, 6mpan2 691 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑅)))
84, 7eqeltrd 2841 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  *cxr 11294  ∞Metcxmet 21349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-xr 11299  df-xmet 21357
This theorem is referenced by:  blres  24441  ressxms  24538  cfilresi  25329  caussi  25331  causs  25332  minvecolem4a  30896
  Copyright terms: Public domain W3C validator