MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetres 22901
Description: A restriction of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetres (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑅)))

Proof of Theorem xmetres
StepHypRef Expression
1 xmetf 22866 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 fdm 6515 . . 3 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3 metreslem 22899 . . 3 (dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))))
5 inss1 4202 . . 3 (𝑋𝑅) ⊆ 𝑋
6 xmetres2 22898 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑅)))
75, 6mpan2 687 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑅)))
84, 7eqeltrd 2910 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  wss 3933   × cxp 5546  dom cdm 5548  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  *cxr 10662  ∞Metcxmet 20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-xr 10667  df-xmet 20466
This theorem is referenced by:  blres  22968  ressxms  23062  cfilresi  23825  caussi  23827  causs  23828  minvecolem4a  28581
  Copyright terms: Public domain W3C validator