Theorem ressxms 24587

Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressxms	⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem ressxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
3	1, 2	xmsxmet 24518	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
5		xmetres 24426	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
7		resres 5980	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
8		inxp 5806	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))
9	8	reseq2i 5964	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
10	7, 9	eqtri 2787	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
11		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴)
12		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
13	11, 12	ressds 17441	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
14	13	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
15		incom 4163	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
16	11, 1	ressbas 17274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
17	16	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
18	15, 17	eqtrid 2811	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
19	18	sqxpeqd 5681	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
20	14, 19	reseq12d 5968	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
21	10, 20	eqtrid 2811	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
22	18	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∞Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (∞Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
23	6, 21, 22	3eltr3d 2878	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
24		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
25	24, 1, 2	xmstopn 24513	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
26	25	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
27	26	oveq1d 7413	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
28		inss1 4190	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝐾)
29		xpss12 5664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝐾)) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) ⊆ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
30	28, 28, 29	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) ⊆ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))
31		resabs1 5994	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) ⊆ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
33	10, 32	eqtr4i 2790	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
34		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
35		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
36	33, 34, 35	metrest 24586	. . . . 5 ⊢ ((((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
37	4, 28, 36	sylancl 595	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
38	27, 37	eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
39		xmstps 24515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp → 𝐾 ∈ TopSp)
40	1, 24	tpsuni 22998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → (Base‘𝐾) = ∪ (TopOpen‘𝐾))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp → (Base‘𝐾) = ∪ (TopOpen‘𝐾))
42	41	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐾) = ∪ (TopOpen‘𝐾))
43	42	ineq2d 4174	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (𝐴 ∩ ∪ (TopOpen‘𝐾)))
44	15, 43	eqtrid 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ ∪ (TopOpen‘𝐾)))
45	44	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopOpen‘𝐾) ↾t (𝐴 ∩ ∪ (TopOpen‘𝐾))))
46	1, 24	istps 22996	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
47	39, 46	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
48		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝐾) = ∪ (TopOpen‘𝐾)
49	48	restin 23228	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘𝐾) ↾t (𝐴 ∩ ∪ (TopOpen‘𝐾))))
50	47, 49	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘𝐾) ↾t (𝐴 ∩ ∪ (TopOpen‘𝐾))))
51	45, 50	eqtr4d 2802	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴))
52	21	fveq2d 6873	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))))
53	38, 51, 52	3eqtr3d 2807	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))))
54	11, 24	resstopn 23248	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾 ↾s 𝐴))
55		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))
56		eqid 2764	. . 3 ⊢ ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
57	54, 55, 56	isxms2 24510	. 2 ⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp ↔ (((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))) ∧ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))))
58	23, 53, 57	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4867   × cxp 5647   ↾ cres 5651  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  distcds 17297   ↾_t crest 17451  TopOpenctopn 17452  ∞Metcxmet 21411  MetOpencmopn 21416  TopOnctopon 22972  TopSpctps 22994  ∞MetSpcxms 24379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-tset 17307  df-ds 17310  df-rest 17453  df-topn 17454  df-topgen 17474  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-xms 24382

This theorem is referenced by:  ressms  24588  qqhcn  34290  qqhucn  34291