Theorem ressxms 23681

Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ressxms	⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem ressxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
3	1, 2	xmsxmet 23609	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)))
5		xmetres 23517	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
7		resres 5904	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
8		inxp 5741	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))
9	8	reseq2i 5888	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
10	7, 9	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾s 𝐴) = (𝐾 ↾s 𝐴)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
13	11, 12	ressds 17120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
14	13	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
15		incom 4135	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
16	11, 1	ressbas 16947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
18	15, 17	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))
19	18	sqxpeqd 5621	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
20	14, 19	reseq12d 5892	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
21	10, 20	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))
22	18	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∞Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (∞Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
23	6, 21, 22	3eltr3d 2853	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
24		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
25	24, 1, 2	xmstopn 23604	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
26	25	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
27	26	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
28		inss1 4162	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝐾)
29		xpss12 5604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝐾)) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) ⊆ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
30	28, 28, 29	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) ⊆ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))
31		resabs1 5921	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) ⊆ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
33	10, 32	eqtr4i 2769	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
34		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
35		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
36	33, 34, 35	metrest 23680	. . . . 5 ⊢ ((((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
37	4, 28, 36	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
38	27, 37	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
39		xmstps 23606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp → 𝐾 ∈ TopSp)
40	1, 24	tpsuni 22085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → (Base‘𝐾) = ∪ (TopOpen‘𝐾))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp → (Base‘𝐾) = ∪ (TopOpen‘𝐾))
42	41	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Base‘𝐾) = ∪ (TopOpen‘𝐾))
43	42	ineq2d 4146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (𝐴 ∩ ∪ (TopOpen‘𝐾)))
44	15, 43	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ ∪ (TopOpen‘𝐾)))
45	44	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopOpen‘𝐾) ↾t (𝐴 ∩ ∪ (TopOpen‘𝐾))))
46	1, 24	istps 22083	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
47	39, 46	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
48		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝐾) = ∪ (TopOpen‘𝐾)
49	48	restin 22317	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘𝐾) ↾t (𝐴 ∩ ∪ (TopOpen‘𝐾))))
50	47, 49	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘𝐾) ↾t (𝐴 ∩ ∪ (TopOpen‘𝐾))))
51	45, 50	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴))
52	21	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (MetOpen‘(((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))))
53	38, 51, 52	3eqtr3d 2786	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))))
54	11, 24	resstopn 22337	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾 ↾s 𝐴))
55		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))
56		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) = ((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))))
57	54, 55, 56	isxms2 23601	. 2 ⊢ ((𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp ↔ (((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(𝐾 ↾s 𝐴))) ∧ ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (MetOpen‘((dist‘(𝐾 ↾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾 ↾s 𝐴)))))))
58	23, 53, 57	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐾 ↾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839   × cxp 5587   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  distcds 16971   ↾_t crest 17131  TopOpenctopn 17132  ∞Metcxmet 20582  MetOpencmopn 20587  TopOnctopon 22059  TopSpctps 22081  ∞MetSpcxms 23470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-tset 16981  df-ds 16984  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473

This theorem is referenced by:  ressms  23682  qqhcn  31941  qqhucn  31942