Theorem minvecolem4a 30674

Description: Lemma for minveco 30681. 𝐹 is convergent in the subspace topology on 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4a	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 30611	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4		minveco.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5		elin 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
6	4, 5	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
7	6	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8		minveco.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9		minveco.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
10		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
11		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
12	8, 9, 10, 11	sspims 30536	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13	3, 7, 12	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
14	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CBan)
15		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
16	15, 10	cbncms 30662	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CBan → (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
18	13, 17	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
19		minveco.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
20		minveco.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
21		minveco.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
22		minveco.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
23		minveco.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24		minveco.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25		minveco.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26		minveco.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
27		minveco.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
28	19, 20, 21, 8, 1, 4, 22, 9, 23, 24, 25, 26, 27	minvecolem3 30673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
29	19, 9	imsmet 30488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
30	1, 2, 29	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31		metxmet 24227	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
33		causs 25213	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
34	32, 26, 33	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
35	28, 34	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
36		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
37	36	cmetcau 25204	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
38	18, 35, 37	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
39		xmetres 24257	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
40	36	methaus 24416	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus)
41	32, 39, 40	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus)
42		lmfun 23272	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
43		funfvbrb 7054	. . 3 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
44	41, 42, 43	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
45	38, 44	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3943   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   × cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673   ↾ cres 5674  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  infcinf 9456  ℝcr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   ≤ cle 11271   / cdiv 11893  ℕcn 12234  2c2 12289  ↑cexp 14050  ∞Metcxmet 21251  Metcmet 21252  MetOpencmopn 21256  ⇝_𝑡clm 23117  Hauscha 23199  Cauccau 25168  CMetccmet 25169  NrmCVeccnv 30381  BaseSetcba 30383   −_𝑣 cnsb 30386  norm_CVcnmcv 30387  IndMetcims 30388  SubSpcss 30518  CPreHil_OLDccphlo 30609  CBanccbn 30659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-ntr 22911  df-nei 22989  df-lm 23120  df-haus 23206  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-cfil 25170  df-cau 25171  df-cmet 25172  df-grpo 30290  df-gid 30291  df-ginv 30292  df-gdiv 30293  df-ablo 30342  df-vc 30356  df-nv 30389  df-va 30392  df-ba 30393  df-sm 30394  df-0v 30395  df-vs 30396  df-nmcv 30397  df-ims 30398  df-ssp 30519  df-ph 30610  df-cbn 30660

This theorem is referenced by:  minvecolem4b  30675  minvecolem4  30677