Theorem minvecolem4a 31479

Description: Lemma for minveco 31486. 𝐹 is convergent in the subspace topology on 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4a	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦, 𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 31416	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4		minveco.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5		elin 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
6	4, 5	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
7	6	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8		minveco.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9		minveco.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
12	8, 9, 10, 11	sspims 31341	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13	3, 7, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
14	6	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CBan)
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
16	15, 10	cbncms 31467	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CBan → (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
18	13, 17	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
19		minveco.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
20		minveco.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
21		minveco.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
22		minveco.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
23		minveco.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24		minveco.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25		minveco.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26		minveco.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
27		minveco.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
28	19, 20, 21, 8, 1, 4, 22, 9, 23, 24, 25, 26, 27	minvecolem3 31478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
29	19, 9	imsmet 31293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
30	1, 2, 29	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31		metxmet 24653	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
32	30, 31	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
33		causs 25619	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
34	32, 26, 33	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
35	28, 34	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
36		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
37	36	cmetcau 25610	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
38	18, 35, 37	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
39		xmetres 24683	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
40	36	methaus 24839	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus)
41	32, 39, 40	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus)
42		lmfun 23699	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
43		funfvbrb 7050	. . 3 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
44	41, 42, 43	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
45	38, 44	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  infcinf 9433  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ↑cexp 14204  ∞Metcxmet 21663  Metcmet 21664  MetOpencmopn 21668  ⇝_𝑡clm 23544  Hauscha 23626  Cauccau 25574  CMetccmet 25575  NrmCVeccnv 31186  BaseSetcba 31188   −_𝑣 cnsb 31191  norm_CVcnmcv 31192  IndMetcims 31193  SubSpcss 31323  CPreHil_OLDccphlo 31414  CBanccbn 31464

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-ntr 23338  df-nei 23416  df-lm 23547  df-haus 23633  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-cfil 25576  df-cau 25577  df-cmet 25578  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-ssp 31324  df-ph 31415  df-cbn 31465

This theorem is used by:  minvecolem4b  31480  minvecolem4  31482