Theorem minvecolem4a 30966

Description: Lemma for minveco 30973. 𝐹 is convergent in the subspace topology on 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
minveco.n	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
minveco.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4a	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		phnv 30903	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ CPreHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmCVec)
4		minveco.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5		elin 3899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
6	4, 5	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
7	6	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8		minveco.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9		minveco.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
10		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
11		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
12	8, 9, 10, 11	sspims 30828	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
13	3, 7, 12	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
14	6	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CBan)
15		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
16	15, 10	cbncms 30954	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CBan → (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
18	13, 17	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
19		minveco.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
20		minveco.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
21		minveco.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
22		minveco.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
23		minveco.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24		minveco.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25		minveco.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26		minveco.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
27		minveco.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
28	19, 20, 21, 8, 1, 4, 22, 9, 23, 24, 25, 26, 27	minvecolem3 30965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
29	19, 9	imsmet 30780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
30	1, 2, 29	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31		metxmet 24317	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
33		causs 25283	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
34	32, 26, 33	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
35	28, 34	mpbid 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
36		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
37	36	cmetcau 25274	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
38	18, 35, 37	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
39		xmetres 24347	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
40	36	methaus 24503	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus)
41	32, 39, 40	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus)
42		lmfun 23364	. . 3 ⊢ ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
43		funfvbrb 6992	. . 3 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
44	41, 42, 43	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
45	38, 44	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  dom cdm 5618  ran crn 5619   ↾ cres 5620  Fun wfun 6479  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  infcinf 9344  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ↑cexp 14014  ∞Metcxmet 21332  Metcmet 21333  MetOpencmopn 21337  ⇝_𝑡clm 23209  Hauscha 23291  Cauccau 25238  CMetccmet 25239  NrmCVeccnv 30673  BaseSetcba 30675   −_𝑣 cnsb 30678  norm_CVcnmcv 30679  IndMetcims 30680  SubSpcss 30810  CPreHil_OLDccphlo 30901  CBanccbn 30951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-ntr 23003  df-nei 23081  df-lm 23212  df-haus 23298  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-cfil 25240  df-cau 25241  df-cmet 25242  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-ssp 30811  df-ph 30902  df-cbn 30952

This theorem is referenced by:  minvecolem4b  30967  minvecolem4  30969