MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem4a 30726
Description: Lemma for minveco 30733. 𝐹 is convergent in the subspace topology on π‘Œ. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
minveco.m 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
minveco.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
minveco.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
minveco.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
minveco.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
minveco.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
minveco.1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4a (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,π‘ˆ   𝑦,π‘Š   𝑛,𝑋   𝑛,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   π‘ˆ(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Š(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4a
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 30663 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ CPreHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
4 minveco.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan))
5 elin 3957 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ ((SubSpβ€˜π‘ˆ) ∩ CBan) ↔ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
64, 5sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ π‘Š ∈ CBan))
76simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ))
8 minveco.y . . . . . 6 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
9 minveco.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
10 eqid 2725 . . . . . 6 (IndMetβ€˜π‘Š) = (IndMetβ€˜π‘Š)
11 eqid 2725 . . . . . 6 (SubSpβ€˜π‘ˆ) = (SubSpβ€˜π‘ˆ)
128, 9, 10, 11sspims 30588 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ (SubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
133, 7, 12syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
146simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CBan)
15 eqid 2725 . . . . . 6 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
1615, 10cbncms 30714 . . . . 5 (π‘Š ∈ CBan β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (CMetβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
1714, 16syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (IndMetβ€˜π‘Š) ∈ (CMetβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
1813, 17eqeltrrd 2826 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)))
19 minveco.x . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
20 minveco.m . . . . 5 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
21 minveco.n . . . . 5 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
22 minveco.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
23 minveco.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
24 minveco.r . . . . 5 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴𝑀𝑦)))
25 minveco.s . . . . 5 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26 minveco.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
27 minveco.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π‘›))↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
2819, 20, 21, 8, 1, 4, 22, 9, 23, 24, 25, 26, 27minvecolem3 30725 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
2919, 9imsmet 30540 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
301, 2, 293syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
31 metxmet 24253 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3230, 31syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
33 causs 25239 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
3432, 26, 33syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
3528, 34mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
36 eqid 2725 . . . 4 (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
3736cmetcau 25230 . . 3 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜(BaseSetβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
3818, 35, 37syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
39 xmetres 24283 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
4036methaus 24442 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ Haus)
4132, 39, 403syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ Haus)
42 lmfun 23298 . . 3 ((MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ∈ Haus β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
43 funfvbrb 7053 . . 3 (Fun (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
4441, 42, 433syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ)))
4538, 44mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671  dom cdm 5673  ran crn 5674   β†Ύ cres 5675  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  infcinf 9459  β„cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273   ≀ cle 11274   / cdiv 11896  β„•cn 12237  2c2 12292  β†‘cexp 14053  βˆžMetcxmet 21263  Metcmet 21264  MetOpencmopn 21268  β‡π‘‘clm 23143  Hauscha 23225  Cauccau 25194  CMetccmet 25195  NrmCVeccnv 30433  BaseSetcba 30435   βˆ’π‘£ cnsb 30438  normCVcnmcv 30439  IndMetcims 30440  SubSpcss 30570  CPreHilOLDccphlo 30661  CBanccbn 30711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-rest 17398  df-topgen 17419  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-ntr 22937  df-nei 23015  df-lm 23146  df-haus 23232  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-cfil 25196  df-cau 25197  df-cmet 25198  df-grpo 30342  df-gid 30343  df-ginv 30344  df-gdiv 30345  df-ablo 30394  df-vc 30408  df-nv 30441  df-va 30444  df-ba 30445  df-sm 30446  df-0v 30447  df-vs 30448  df-nmcv 30449  df-ims 30450  df-ssp 30571  df-ph 30662  df-cbn 30712
This theorem is referenced by:  minvecolem4b  30727  minvecolem4  30729
  Copyright terms: Public domain W3C validator