MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem4a 30807
Description: Lemma for minveco 30814. 𝐹 is convergent in the subspace topology on 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4a (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4a
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 30744 . . . . . 6 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
4 minveco.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5 elin 3962 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
64, 5sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
76simpld 493 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8 minveco.y . . . . . 6 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9 minveco.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
11 eqid 2726 . . . . . 6 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
128, 9, 10, 11sspims 30669 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
133, 7, 12syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
146simprd 494 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ CBan)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
1615, 10cbncms 30795 . . . . 5 (𝑊 ∈ CBan → (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
1813, 17eqeltrrd 2827 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
19 minveco.x . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
20 minveco.m . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
21 minveco.n . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
22 minveco.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
23 minveco.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24 minveco.r . . . . 5 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25 minveco.s . . . . 5 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26 minveco.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
27 minveco.1 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
2819, 20, 21, 8, 1, 4, 22, 9, 23, 24, 25, 26, 27minvecolem3 30806 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
2919, 9imsmet 30621 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
301, 2, 293syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31 metxmet 24328 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3230, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
33 causs 25314 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
3432, 26, 33syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
3528, 34mpbid 231 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
36 eqid 2726 . . . 4 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
3736cmetcau 25305 . . 3 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
3818, 35, 37syl2anc 582 . 2 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
39 xmetres 24358 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
4036methaus 24517 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus)
4132, 39, 403syl 18 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus)
42 lmfun 23373 . . 3 ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
43 funfvbrb 7056 . . 3 (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
4441, 42, 433syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
4538, 44mpbid 231 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3945   class class class wbr 5145  cmpt 5228   × cxp 5672  dom cdm 5674  ran crn 5675  cres 5676  Fun wfun 6540  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  infcinf 9477  cr 11148  1c1 11150   + caddc 11152   < clt 11289  cle 11290   / cdiv 11912  cn 12258  2c2 12313  cexp 14075  ∞Metcxmet 21324  Metcmet 21325  MetOpencmopn 21329  𝑡clm 23218  Hauscha 23300  Cauccau 25269  CMetccmet 25270  NrmCVeccnv 30514  BaseSetcba 30516  𝑣 cnsb 30519  normCVcnmcv 30520  IndMetcims 30521  SubSpcss 30651  CPreHilOLDccphlo 30742  CBanccbn 30792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fl 13806  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-rest 17432  df-topgen 17453  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22937  df-ntr 23012  df-nei 23090  df-lm 23221  df-haus 23307  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-cfil 25271  df-cau 25272  df-cmet 25273  df-grpo 30423  df-gid 30424  df-ginv 30425  df-gdiv 30426  df-ablo 30475  df-vc 30489  df-nv 30522  df-va 30525  df-ba 30526  df-sm 30527  df-0v 30528  df-vs 30529  df-nmcv 30530  df-ims 30531  df-ssp 30652  df-ph 30743  df-cbn 30793
This theorem is referenced by:  minvecolem4b  30808  minvecolem4  30810
  Copyright terms: Public domain W3C validator