MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metres2 24374
Description: Lemma for metres 24376. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))

Proof of Theorem metres2
StepHypRef Expression
1 metxmet 24345 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetres2 24372 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
31, 2sylan 580 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
4 metf 24341 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
54adantr 480 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
6 simpr 484 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅𝑋)
7 xpss12 5699 . . . 4 ((𝑅𝑋𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
86, 7sylancom 588 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
95, 8fssresd 6774 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ)
10 ismet2 24344 . 2 ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅) ↔ ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅) ∧ (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ))
113, 9, 10sylanbrc 583 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2107  wss 3950   × cxp 5682  cres 5686  wf 6556  cfv 6560  cr 11155  ∞Metcxmet 21350  Metcmet 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-mulcl 11218  ax-i2m1 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-xadd 13156  df-xmet 21358  df-met 21359
This theorem is referenced by:  metres  24376  xpsmet  24393  tmsms  24501  imasf1oms  24504  prdsms  24545  remet  24812  lebnumii  24999  cmetss  25351  sstotbnd2  37782  bndss  37794  equivbnd2  37800  rrnheibor  37845  iccbnd  37848
  Copyright terms: Public domain W3C validator