MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metres2 22970
Description: Lemma for metres 22972. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))

Proof of Theorem metres2
StepHypRef Expression
1 metxmet 22941 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetres2 22968 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
31, 2sylan 583 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
4 metf 22937 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
54adantr 484 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
6 simpr 488 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅𝑋)
7 xpss12 5534 . . . 4 ((𝑅𝑋𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
86, 7sylancom 591 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
95, 8fssresd 6519 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ)
10 ismet2 22940 . 2 ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅) ↔ ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅) ∧ (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ))
113, 9, 10sylanbrc 586 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2111  wss 3881   × cxp 5517  cres 5521  wf 6320  cfv 6324  cr 10525  ∞Metcxmet 20076  Metcmet 20077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-mulcl 10588  ax-i2m1 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-xadd 12496  df-xmet 20084  df-met 20085
This theorem is referenced by:  metres  22972  xpsmet  22989  tmsms  23094  imasf1oms  23097  prdsms  23138  remet  23395  lebnumii  23571  cmetss  23920  sstotbnd2  35212  bndss  35224  equivbnd2  35230  rrnheibor  35275  iccbnd  35278
  Copyright terms: Public domain W3C validator