MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metres2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem metres2 23869
Description: Lemma for metres 23871. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (Metβ€˜π‘…))
Proof of Theorem metres2
StepHypRef Expression
1 metxmet 23840 . . 3 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 xmetres2 23867 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜π‘…))
31, 2sylan 581 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜π‘…))
4 metf 23836 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
54adantr 482 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
6 simpr 486 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑋)
7 xpss12 5692 . . . 4 ((𝑅 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
86, 7sylancom 589 . . 3 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
95, 8fssresd 6759 . 2 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„)
10 ismet2 23839 . 2 ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (Metβ€˜π‘…) ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (∞Metβ€˜π‘…) ∧ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)):(𝑅 Γ— 𝑅)βŸΆβ„))
113, 9, 10sylanbrc 584 1 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) ∈ (Metβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  β„cr 11109  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-mulcl 11172  ax-i2m1 11178
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-xadd 13093  df-xmet 20937  df-met 20938
This theorem is referenced by:  metres  23871  xpsmet  23888  tmsms  23996  imasf1oms  23999  prdsms  24040  remet  24306  lebnumii  24482  cmetss  24833  sstotbnd2  36642  bndss  36654  equivbnd2  36660  rrnheibor  36705  iccbnd  36708
  Copyright terms: Public domain W3C validator