Theorem metres2 23514

Description: Lemma for metres 23516. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres2	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))

Proof of Theorem metres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 23485	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmetres2 23512	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
4		metf 23481	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
6		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → 𝑅 ⊆ 𝑋)
7		xpss12 5605	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
8	6, 7	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
9	5, 8	fssresd 6639	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ)
10		ismet2 23484	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅) ↔ ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅) ∧ (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ))
11	3, 9, 10	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892   × cxp 5588   ↾ cres 5592  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  ℝcr 10871  ∞Metcxmet 20580  Metcmet 20581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-mulcl 10934  ax-i2m1 10940

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-xadd 12848  df-xmet 20588  df-met 20589

This theorem is referenced by:  metres  23516  xpsmet  23533  tmsms  23641  imasf1oms  23644  prdsms  23685  remet  23951  lebnumii  24127  cmetss  24478  sstotbnd2  35928  bndss  35940  equivbnd2  35946  rrnheibor  35991  iccbnd  35994