Theorem metres2 23215

Description: Lemma for metres 23217. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metres2	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))

Proof of Theorem metres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 23186	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmetres2 23213	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
3	1, 2	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
4		metf 23182	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
6		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → 𝑅 ⊆ 𝑋)
7		xpss12 5551	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
8	6, 7	sylancom 591	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
9	5, 8	fssresd 6564	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ)
10		ismet2 23185	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅) ↔ ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅) ∧ (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ))
11	3, 9, 10	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853   × cxp 5534   ↾ cres 5538  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  ℝcr 10693  ∞Metcxmet 20302  Metcmet 20303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-mulcl 10756  ax-i2m1 10762

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-xadd 12670  df-xmet 20310  df-met 20311

This theorem is referenced by:  metres  23217  xpsmet  23234  tmsms  23339  imasf1oms  23342  prdsms  23383  remet  23641  lebnumii  23817  cmetss  24167  sstotbnd2  35618  bndss  35630  equivbnd2  35636  rrnheibor  35681  iccbnd  35684