Theorem caussi 23583

Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
caussi	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem caussi

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
2		xpss2 5463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋 → (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)
4		sstr 3897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
5	3, 4	mpan2 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
6	5	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
8		elfvdm 6570	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9		inex1g 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
11		cnex 10464	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
12		elpmg 8272	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
14		elpmg 8272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
15	8, 11, 14	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
16	7, 13, 15	3imtr4d 295	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) → 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)))
17		uzid 12108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦))
18	17	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦))
19		simp2 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
20	19	ralimi 3127	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
21		fveq2 6538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑓‘𝑧) = (𝑓‘𝑦))
22	21	eleq1d 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)))
23	22	rspcva 3557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
24	18, 20, 23	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
25		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
26	25	elin2d 4097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌)
27		inss2 4126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
29	28	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑌)
30		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌)
31	29, 30	ovresd 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)))
32	31	breq1d 4972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥 ↔ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
33	32	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥 → ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
34	33	imdistanda 572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
36	35	sseld 3888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋))
37	36	anim1d 610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
38	34, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
39	26, 38	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
40	39	anim2d 611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
41		3anass 1088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
42		3anass 1088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
43	40, 41, 42	3imtr4g 297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
44	43	ralimdv 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
45	44	impancom 452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
46	24, 45	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
47	46	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
48	47	reximdva 3237	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
49	48	ralimdv 3145	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
50	16, 49	anim12d 608	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
51		xmetres 22657	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
52		iscau2 23563	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
53	51, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
54		iscau2 23563	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
55	50, 53, 54	3imtr4d 295	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
56	55	ssrdv 3895	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  ∃wrex 3106  Vcvv 3437   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859   class class class wbr 4962   × cxp 5441  dom cdm 5443   ↾ cres 5445  Fun wfun 6219  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ↑_pm cpm 8257  ℂcc 10381   < clt 10521  ℤcz 11829  ℤ_≥cuz 12093  ℝ⁺crp 12239  ∞Metcxmet 20212  Cauccau 23539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-neg 10720  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-xadd 12358  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-bl 20222  df-cau 23542

This theorem is referenced by: (None)