MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caussi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caussi 24607
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
caussi (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem caussi
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4186 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
2 xpss2 5651 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 → (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)
4 sstr 3950 . . . . . . . 8 ((𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)) ∧ (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
53, 4mpan2 689 . . . . . . 7 (𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
65anim2i 617 . . . . . 6 ((Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))) → (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
76a1i 11 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))) → (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
8 elfvdm 6876 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 inex1g 5274 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋𝑌) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ∈ V)
11 cnex 11090 . . . . . 6 ℂ ∈ V
12 elpmg 8739 . . . . . 6 (((𝑋𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
14 elpmg 8739 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
158, 11, 14sylancl 586 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
167, 13, 153imtr4d 293 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) → 𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ)))
17 uzid 12736 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ (ℤ𝑦))
1817adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ (ℤ𝑦))
19 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌))
2019ralimi 3084 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌))
21 fveq2 6839 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑦))
2221eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)))
2322rspcva 3577 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌))
2418, 20, 23syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌))
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌))
2625elin2d 4157 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑌)
27 inss2 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
2928sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑌)
30 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑌)
3129, 30ovresd 7515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) = ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)))
3231breq1d 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥 ↔ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))
3332biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥 → ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))
3433imdistanda 572 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
351a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
3635sseld 3941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑋))
3736anim1d 611 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
3834, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
3926, 38syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4039anim2d 612 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
41 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
42 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4340, 41, 423imtr4g 295 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4443ralimdv 3164 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4544impancom 452 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → ((𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4624, 45mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))
4746ex 413 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4847reximdva 3163 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4948ralimdv 3164 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
5016, 49anim12d 609 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
51 xmetres 23663 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
52 iscau2 24587 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
5351, 52syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
54 iscau2 24587 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
5550, 53, 543imtr4d 293 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
5655ssrdv 3948 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443  cin 3907  wss 3908   class class class wbr 5103   × cxp 5629  dom cdm 5631  cres 5633  Fun wfun 6487  cfv 6493  (class class class)co 7351  pm cpm 8724  cc 11007   < clt 11147  cz 12457  cuz 12721  +crp 12869  ∞Metcxmet 20728  Cauccau 24563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-neg 11346  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-xadd 12988  df-psmet 20735  df-xmet 20736  df-bl 20738  df-cau 24566
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator