MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caussi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caussi 25344
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
caussi (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem caussi
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4244 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
2 xpss2 5708 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 → (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)
4 sstr 4003 . . . . . . . 8 ((𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)) ∧ (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
53, 4mpan2 691 . . . . . . 7 (𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
65anim2i 617 . . . . . 6 ((Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))) → (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
76a1i 11 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))) → (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
8 elfvdm 6943 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 inex1g 5324 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋𝑌) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ∈ V)
11 cnex 11233 . . . . . 6 ℂ ∈ V
12 elpmg 8881 . . . . . 6 (((𝑋𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
14 elpmg 8881 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
158, 11, 14sylancl 586 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
167, 13, 153imtr4d 294 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) → 𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ)))
17 uzid 12890 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ (ℤ𝑦))
1817adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ (ℤ𝑦))
19 simp2 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌))
2019ralimi 3080 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌))
21 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑦))
2221eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)))
2322rspcva 3619 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌))
2418, 20, 23syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌))
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌))
2625elin2d 4214 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑌)
27 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
2928sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑌)
30 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑌)
3129, 30ovresd 7599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) = ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)))
3231breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥 ↔ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))
3332biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥 → ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))
3433imdistanda 571 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
351a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
3635sseld 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑋))
3736anim1d 611 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
3834, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
3926, 38syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4039anim2d 612 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
41 3anass 1094 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
42 3anass 1094 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4340, 41, 423imtr4g 296 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4443ralimdv 3166 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4544impancom 451 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → ((𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4624, 45mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))
4746ex 412 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4847reximdva 3165 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4948ralimdv 3166 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
5016, 49anim12d 609 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
51 xmetres 24389 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
52 iscau2 25324 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
5351, 52syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
54 iscau2 25324 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
5550, 53, 543imtr4d 294 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
5655ssrdv 4000 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147   × cxp 5686  dom cdm 5688  cres 5690  Fun wfun 6556  cfv 6562  (class class class)co 7430  pm cpm 8865  cc 11150   < clt 11292  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ∞Metcxmet 21366  Cauccau 25300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-bl 21376  df-cau 25303
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator