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Theorem caussi 24684
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
caussi (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) βŠ† (Cauβ€˜π·))

Proof of Theorem caussi
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4192 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋
2 xpss2 5657 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋 β†’ (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋)
4 sstr 3956 . . . . . . . 8 ((𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋)) β†’ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))
53, 4mpan2 690 . . . . . . 7 (𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))
65anim2i 618 . . . . . 6 ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ))) β†’ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋)))
76a1i 11 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ))) β†’ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
8 elfvdm 6883 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 inex1g 5280 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom ∞Met β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ V)
11 cnex 11140 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
12 elpmg 8787 . . . . . 6 (((𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)))))
1310, 11, 12sylancl 587 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)))))
14 elpmg 8787 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
158, 11, 14sylancl 587 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
167, 13, 153imtr4d 294 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) β†’ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)))
17 uzid 12786 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦))
1817adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ 𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦))
19 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
2019ralimi 3083 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
21 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘¦))
2221eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)))
2322rspcva 3581 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
2418, 20, 23syl2an 597 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
25 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
2625elin2d 4163 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
27 inss2 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
2928sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ π‘Œ)
30 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
3129, 30ovresd 7525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)))
3231breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯ ↔ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))
3332biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯ β†’ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))
3433imdistanda 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
351a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋)
3635sseld 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋))
3736anim1d 612 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
3834, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
3926, 38syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4039anim2d 613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))))
41 3anass 1096 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
42 3anass 1096 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4340, 41, 423imtr4g 296 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4443ralimdv 3163 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4544impancom 453 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4624, 45mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))
4746ex 414 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4847reximdva 3162 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4948ralimdv 3163 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
5016, 49anim12d 610 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))))
51 xmetres 23740 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
52 iscau2 24664 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))))
5351, 52syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))))
54 iscau2 24664 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))))
5550, 53, 543imtr4d 294 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)))
5655ssrdv 3954 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) βŠ† (Cauβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  Fun wfun 6494  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057   < clt 11197  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  Cauccau 24640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-neg 11396  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-cau 24643
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