Theorem caussi 25673

Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
caussi	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem caussi

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
2		xpss2 5678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋 → (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)
4		sstr 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
5	3, 4	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
6	5	anim2i 629	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
8		elfvdm 6950	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9		inex1g 5286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
11		cnex 11320	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
12		elpmg 8901	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
13	10, 11, 12	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
14		elpmg 8901	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
15	8, 11, 14	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
16	7, 13, 15	3imtr4d 297	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) → 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)))
17		uzid 13020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦))
18	17	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦))
19		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
20	19	ralimi 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
21		fveq2 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑓‘𝑧) = (𝑓‘𝑦))
22	21	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)))
23	22	rspcva 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
24	18, 20, 23	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
25		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
26	25	elin2d 4105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌)
27		inss2 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
29	28	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑌)
30		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌)
31	29, 30	ovresd 7619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)))
32	31	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥 ↔ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
33	32	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥 → ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
34	33	imdistanda 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
36	35	sseld 3912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋))
37	36	anim1d 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
38	34, 37	syld 48	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
39	26, 38	syldan 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
40	39	anim2d 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
41		3anass 1111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
42		3anass 1111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
43	40, 41, 42	3imtr4g 299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
44	43	ralimdv 3180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
45	44	impancom 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
46	24, 45	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
47	46	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
48	47	reximdva 3179	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
49	48	ralimdv 3180	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
50	16, 49	anim12d 621	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
51		xmetres 24738	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
52		iscau2 25653	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
53	51, 52	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
54		iscau2 25653	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
55	50, 53, 54	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
56	55	ssrdv 3919	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5108   × cxp 5656  dom cdm 5658   ↾ cres 5660  Fun wfun 6560  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_pm cpm 8886  ℂcc 11237   < clt 11382  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ℝ⁺crp 13160  ∞Metcxmet 21714  Cauccau 25629

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-neg 11583  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-xadd 13282  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-bl 21724  df-cau 25632

This theorem is used by: (None)