Theorem caussi 25197

Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
caussi	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem caussi

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
2		xpss2 5658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋 → (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)
4		sstr 3955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
5	3, 4	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
6	5	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
8		elfvdm 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9		inex1g 5274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
11		cnex 11149	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
12		elpmg 8816	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
14		elpmg 8816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
15	8, 11, 14	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
16	7, 13, 15	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) → 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)))
17		uzid 12808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦))
19		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
20	19	ralimi 3066	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
21		fveq2 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑓‘𝑧) = (𝑓‘𝑦))
22	21	eleq1d 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)))
23	22	rspcva 3586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
24	18, 20, 23	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
26	25	elin2d 4168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌)
27		inss2 4201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
29	28	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑌)
30		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌)
31	29, 30	ovresd 7556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)))
32	31	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥 ↔ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
33	32	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥 → ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
34	33	imdistanda 571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
36	35	sseld 3945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋))
37	36	anim1d 611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
38	34, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
39	26, 38	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
40	39	anim2d 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
41		3anass 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
42		3anass 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
43	40, 41, 42	3imtr4g 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
44	43	ralimdv 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
45	44	impancom 451	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
46	24, 45	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
47	46	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
48	47	reximdva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
49	48	ralimdv 3147	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
50	16, 49	anim12d 609	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
51		xmetres 24252	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
52		iscau2 25177	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
53	51, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
54		iscau2 25177	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
55	50, 53, 54	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
56	55	ssrdv 3952	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   × cxp 5636  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  Fun wfun 6505  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_pm cpm 8800  ℂcc 11066   < clt 11208  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  ∞Metcxmet 21249  Cauccau 25153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-bl 21259  df-cau 25156

This theorem is referenced by: (None)