Theorem caussi 25204

Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
caussi	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem caussi

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
2		xpss2 5661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋 → (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)
4		sstr 3958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
5	3, 4	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
6	5	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
8		elfvdm 6898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9		inex1g 5277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
11		cnex 11156	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
12		elpmg 8819	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
14		elpmg 8819	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
15	8, 11, 14	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
16	7, 13, 15	3imtr4d 294	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) → 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)))
17		uzid 12815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦))
19		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
20	19	ralimi 3067	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
21		fveq2 6861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑓‘𝑧) = (𝑓‘𝑦))
22	21	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)))
23	22	rspcva 3589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
24	18, 20, 23	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
25		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌))
26	25	elin2d 4171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌)
27		inss2 4204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
29	28	sselda 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑌)
30		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌)
31	29, 30	ovresd 7559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) = ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)))
32	31	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥 ↔ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
33	32	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥 → ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
34	33	imdistanda 571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
35	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
36	35	sseld 3948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋))
37	36	anim1d 611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
38	34, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
39	26, 38	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
40	39	anim2d 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
41		3anass 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
42		3anass 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
43	40, 41, 42	3imtr4g 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
44	43	ralimdv 3148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
45	44	impancom 451	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → ((𝑓‘𝑦) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
46	24, 45	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))
47	46	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
48	47	reximdva 3147	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
49	48	ralimdv 3148	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)))
50	16, 49	anim12d 609	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
51		xmetres 24259	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
52		iscau2 25184	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
53	51, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
54		iscau2 25184	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓‘𝑧)𝐷(𝑓‘𝑦)) < 𝑥))))
55	50, 53, 54	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
56	55	ssrdv 3955	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   × cxp 5639  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  Fun wfun 6508  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_pm cpm 8803  ℂcc 11073   < clt 11215  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  ∞Metcxmet 21256  Cauccau 25160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-bl 21266  df-cau 25163

This theorem is referenced by: (None)