MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caussi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caussi 25331
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
caussi (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))

Proof of Theorem caussi
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4237 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
2 xpss2 5705 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 → (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)
4 sstr 3992 . . . . . . . 8 ((𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)) ∧ (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (ℂ × 𝑋)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
53, 4mpan2 691 . . . . . . 7 (𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)) → 𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))
65anim2i 617 . . . . . 6 ((Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))) → (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
76a1i 11 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))) → (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
8 elfvdm 6943 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 inex1g 5319 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋𝑌) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ∈ V)
11 cnex 11236 . . . . . 6 ℂ ∈ V
12 elpmg 8883 . . . . . 6 (((𝑋𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
14 elpmg 8883 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
158, 11, 14sylancl 586 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
167, 13, 153imtr4d 294 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) → 𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ)))
17 uzid 12893 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ (ℤ𝑦))
1817adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ (ℤ𝑦))
19 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌))
2019ralimi 3083 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌))
21 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑦))
2221eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)))
2322rspcva 3620 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌))
2418, 20, 23syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌))
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌))
2625elin2d 4205 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑌)
27 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
2928sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑌)
30 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑌)
3129, 30ovresd 7600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) = ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)))
3231breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥 ↔ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))
3332biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌)) → (((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥 → ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))
3433imdistanda 571 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
351a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
3635sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) → (𝑓𝑧) ∈ 𝑋))
3736anim1d 611 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
3834, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ 𝑌) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
3926, 38syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4039anim2d 612 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
41 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
42 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4340, 41, 423imtr4g 296 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4443ralimdv 3169 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌)) → (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4544impancom 451 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → ((𝑓𝑦) ∈ (𝑋𝑌) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4624, 45mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))
4746ex 412 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4847reximdva 3168 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
4948ralimdv 3169 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥)))
5016, 49anim12d 609 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥)) → (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
51 xmetres 24374 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
52 iscau2 25311 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
5351, 52syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝑋𝑌) ∧ ((𝑓𝑧)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
54 iscau2 25311 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ((𝑓𝑧)𝐷(𝑓𝑦)) < 𝑥))))
5550, 53, 543imtr4d 294 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)))
5655ssrdv 3989 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ⊆ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  Fun wfun 6555  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153   < clt 11295  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ∞Metcxmet 21349  Cauccau 25287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359  df-cau 25290
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator