MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caussi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem caussi 25047
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
caussi (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) βŠ† (Cauβ€˜π·))
Proof of Theorem caussi
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4229 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋
2 xpss2 5697 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋 β†’ (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋)
4 sstr 3991 . . . . . . . 8 ((𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋)) β†’ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))
53, 4mpan2 687 . . . . . . 7 (𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))
65anim2i 615 . . . . . 6 ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ))) β†’ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋)))
76a1i 11 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ))) β†’ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
8 elfvdm 6929 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 inex1g 5320 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom ∞Met β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ V)
11 cnex 11195 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
12 elpmg 8841 . . . . . 6 (((𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)))))
1310, 11, 12sylancl 584 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)))))
14 elpmg 8841 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
158, 11, 14sylancl 584 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
167, 13, 153imtr4d 293 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) β†’ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)))
17 uzid 12843 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„€ β†’ 𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦))
1817adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ 𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦))
19 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
2019ralimi 3081 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
21 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (π‘“β€˜π‘¦))
2221eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)))
2322rspcva 3611 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
2418, 20, 23syl2an 594 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
25 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ))
2625elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
27 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
2928sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ π‘Œ)
30 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
3129, 30ovresd 7578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) = ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)))
3231breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯ ↔ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))
3332biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯ β†’ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))
3433imdistanda 570 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
351a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋)
3635sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋))
3736anim1d 609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
3834, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ π‘Œ) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
3926, 38syldan 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4039anim2d 610 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))))
41 3anass 1093 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
42 3anass 1093 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ ((π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4340, 41, 423imtr4g 295 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4443ralimdv 3167 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4544impancom 450 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)) β†’ ((π‘“β€˜π‘¦) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4624, 45mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))
4746ex 411 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4847reximdva 3166 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
4948ralimdv 3167 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)))
5016, 49anim12d 607 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))))
51 xmetres 24092 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
52 iscau2 25027 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))))
5351, 52syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ (𝑓 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ ((π‘“β€˜π‘§)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))))
54 iscau2 25027 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„€ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(𝑧 ∈ dom 𝑓 ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ ((π‘“β€˜π‘§)𝐷(π‘“β€˜π‘¦)) < π‘₯))))
5550, 53, 543imtr4d 293 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·)))
5655ssrdv 3989 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) βŠ† (Cauβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  Fun wfun 6538  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ↑pm cpm 8825  β„‚cc 11112   < clt 11254  β„€cz 12564  β„€β‰₯cuz 12828  β„+crp 12980  βˆžMetcxmet 21131  Cauccau 25003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-neg 11453  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-bl 21141  df-cau 25006
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator