NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  addccan2 GIF version

Theorem addccan2 4559
Description: Cancellation law for natural addition. (Contributed by SF, 3-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
addccan2 ((M Nn N Nn P Nn ) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))

Proof of Theorem addccan2
StepHypRef Expression
1 nncaddccl 4419 . . . 4 ((M Nn N Nn ) → (M +c N) Nn )
2 nulnnn 4556 . . . . . 6 ¬ Nn
3 eleq1 2413 . . . . . 6 ((M +c N) = → ((M +c N) Nn Nn ))
42, 3mtbiri 294 . . . . 5 ((M +c N) = → ¬ (M +c N) Nn )
54necon2ai 2561 . . . 4 ((M +c N) Nn → (M +c N) ≠ )
61, 5syl 15 . . 3 ((M Nn N Nn ) → (M +c N) ≠ )
763adant3 975 . 2 ((M Nn N Nn P Nn ) → (M +c N) ≠ )
8 preaddccan2 4455 . 2 (((M Nn N Nn P Nn ) (M +c N) ≠ ) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))
97, 8mpdan 649 1 ((M Nn N Nn P Nn ) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176   wa 358   w3a 934   = wceq 1642   wcel 1710  wne 2516  c0 3550   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447
This theorem is referenced by:  addccan1  4560
  Copyright terms: Public domain W3C validator