Theorem addccan2 4559

Description: Cancellation law for natural addition. (Contributed by SF, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
addccan2	⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))

Proof of Theorem addccan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncaddccl 4419	. . . 4 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → (M +c N) ∈ Nn )
2		nulnnn 4556	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ Nn
3		eleq1 2413	. . . . . 6 ⊢ ((M +c N) = ∅ → ((M +c N) ∈ Nn ↔ ∅ ∈ Nn ))
4	2, 3	mtbiri 294	. . . . 5 ⊢ ((M +c N) = ∅ → ¬ (M +c N) ∈ Nn )
5	4	necon2ai 2561	. . . 4 ⊢ ((M +c N) ∈ Nn → (M +c N) ≠ ∅)
6	1, 5	syl 15	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → (M +c N) ≠ ∅)
7	6	3adant3 975	. 2 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) → (M +c N) ≠ ∅)
8		preaddccan2 4455	. 2 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) ∧ (M +c N) ≠ ∅) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))
9	7, 8	mpdan 649	1 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∅c0 3550   Nn cnnc 4373   +_c cplc 4375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447

This theorem is referenced by:  addccan1  4560