Theorem nulnnn 4557

Description: The empty class is not a natural. Theorem X.1.65 of [Rosser] p. 536. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nulnnn	⊢ ¬ ∅ ∈ Nn

Proof of Theorem nulnnn

Dummy variables m n x a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		complab 3525	. . . . . . 7 ⊢ ∼ {n ∣ n = ∅} = {n ∣ ¬ n = ∅}
2		df-sn 3742	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} = {n ∣ n = ∅}
3	2	compleqi 3245	. . . . . . 7 ⊢ ∼ {∅} = ∼ {n ∣ n = ∅}
4		df-ne 2519	. . . . . . . 8 ⊢ (n ≠ ∅ ↔ ¬ n = ∅)
5	4	abbii 2466	. . . . . . 7 ⊢ {n ∣ n ≠ ∅} = {n ∣ ¬ n = ∅}
6	1, 3, 5	3eqtr4ri 2384	. . . . . 6 ⊢ {n ∣ n ≠ ∅} = ∼ {∅}
7		snex 4112	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
8	7	complex 4105	. . . . . 6 ⊢ ∼ {∅} ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2423	. . . . 5 ⊢ {n ∣ n ≠ ∅} ∈ V
10		neeq1 2525	. . . . 5 ⊢ (n = 0c → (n ≠ ∅ ↔ 0c ≠ ∅))
11		neeq1 2525	. . . . 5 ⊢ (n = m → (n ≠ ∅ ↔ m ≠ ∅))
12		neeq1 2525	. . . . 5 ⊢ (n = (m +c 1c) → (n ≠ ∅ ↔ (m +c 1c) ≠ ∅))
13		neeq1 2525	. . . . 5 ⊢ (n = x → (n ≠ ∅ ↔ x ≠ ∅))
14		nulel0c 4423	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 0c
15		ne0i 3557	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 0c → 0c ≠ ∅)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0c ≠ ∅
17		n0 3560	. . . . . 6 ⊢ (m ≠ ∅ ↔ ∃a a ∈ m)
18		vinf 4556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ V ∈ Fin
19		elunii 3897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((V ∈ m ∧ m ∈ Nn ) → V ∈ ∪ Nn )
20	19	ancoms 439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ V ∈ m) → V ∈ ∪ Nn )
21		df-fin 4381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Fin = ∪ Nn
22	20, 21	syl6eleqr 2444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ V ∈ m) → V ∈ Fin )
23	22	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (m ∈ Nn → (V ∈ m → V ∈ Fin ))
24	18, 23	mtoi 169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (m ∈ Nn → ¬ V ∈ m)
25		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (a = V → (a ∈ m ↔ V ∈ m))
26	25	notbid 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (a = V → (¬ a ∈ m ↔ ¬ V ∈ m))
27	24, 26	syl5ibrcom 213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (m ∈ Nn → (a = V → ¬ a ∈ m))
28	27	necon2ad 2565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (m ∈ Nn → (a ∈ m → a ≠ V))
29	28	imp 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → a ≠ V)
30		compleqb 3544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (a = V ↔ ∼ a = ∼ V)
31	30	necon3bii 2549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (a ≠ V ↔ ∼ a ≠ ∼ V)
32	29, 31	sylib 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → ∼ a ≠ ∼ V)
33		complV 4071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∼ V = ∅
34	33	neeq2i 2528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ∼ a ≠ ∼ V ↔ ∼ a ≠ ∅)
35	32, 34	sylib 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → ∼ a ≠ ∅)
36		n0 3560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ∼ a ≠ ∅ ↔ ∃x x ∈ ∼ a)
37		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ x ∈ V
38	37	elcompl 3226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ∼ a ↔ ¬ x ∈ a)
39	37	elsuci 4415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((a ∈ m ∧ ¬ x ∈ a) → (a ∪ {x}) ∈ (m +c 1c))
40		ne0i 3557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((a ∪ {x}) ∈ (m +c 1c) → (m +c 1c) ≠ ∅)
41	39, 40	syl 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((a ∈ m ∧ ¬ x ∈ a) → (m +c 1c) ≠ ∅)
42	38, 41	sylan2b 461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((a ∈ m ∧ x ∈ ∼ a) → (m +c 1c) ≠ ∅)
43	42	ex 423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (a ∈ m → (x ∈ ∼ a → (m +c 1c) ≠ ∅))
44	43	adantl 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → (x ∈ ∼ a → (m +c 1c) ≠ ∅))
45	44	exlimdv 1636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → (∃x x ∈ ∼ a → (m +c 1c) ≠ ∅))
46	36, 45	syl5bi 208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → ( ∼ a ≠ ∅ → (m +c 1c) ≠ ∅))
47	35, 46	mpd 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → (m +c 1c) ≠ ∅)
48	47	ex 423	. . . . . . 7 ⊢ (m ∈ Nn → (a ∈ m → (m +c 1c) ≠ ∅))
49	48	exlimdv 1636	. . . . . 6 ⊢ (m ∈ Nn → (∃a a ∈ m → (m +c 1c) ≠ ∅))
50	17, 49	syl5bi 208	. . . . 5 ⊢ (m ∈ Nn → (m ≠ ∅ → (m +c 1c) ≠ ∅))
51	9, 10, 11, 12, 13, 16, 50	finds 4412	. . . 4 ⊢ (x ∈ Nn → x ≠ ∅)
52	51	neneqd 2533	. . 3 ⊢ (x ∈ Nn → ¬ x = ∅)
53	52	nrex 2717	. 2 ⊢ ¬ ∃x ∈ Nn x = ∅
54		risset 2662	. 2 ⊢ (∅ ∈ Nn ↔ ∃x ∈ Nn x = ∅)
55	53, 54	mtbir 290	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ Nn

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339   ≠ wne 2517  ∃wrex 2616  Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   ∪ cun 3208  ∅c0 3551  {csn 3738  ∪cuni 3892  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   +_c cplc 4376   Fin cfin 4377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448

This theorem is used by:  peano4  4558  addccan2  4560  nntccl  6171