Theorem nulnnn 4556

Description: The empty class is not a natural. Theorem X.1.65 of [Rosser] p. 536. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nulnnn	⊢ ¬ ∅ ∈ Nn

Proof of Theorem nulnnn

Dummy variables m n x a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		complab 3524	. . . . . . 7 ⊢ ∼ {n ∣ n = ∅} = {n ∣ ¬ n = ∅}
2		df-sn 3741	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} = {n ∣ n = ∅}
3	2	compleqi 3244	. . . . . . 7 ⊢ ∼ {∅} = ∼ {n ∣ n = ∅}
4		df-ne 2518	. . . . . . . 8 ⊢ (n ≠ ∅ ↔ ¬ n = ∅)
5	4	abbii 2465	. . . . . . 7 ⊢ {n ∣ n ≠ ∅} = {n ∣ ¬ n = ∅}
6	1, 3, 5	3eqtr4ri 2384	. . . . . 6 ⊢ {n ∣ n ≠ ∅} = ∼ {∅}
7		snex 4111	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
8	7	complex 4104	. . . . . 6 ⊢ ∼ {∅} ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2423	. . . . 5 ⊢ {n ∣ n ≠ ∅} ∈ V
10		neeq1 2524	. . . . 5 ⊢ (n = 0c → (n ≠ ∅ ↔ 0c ≠ ∅))
11		neeq1 2524	. . . . 5 ⊢ (n = m → (n ≠ ∅ ↔ m ≠ ∅))
12		neeq1 2524	. . . . 5 ⊢ (n = (m +c 1c) → (n ≠ ∅ ↔ (m +c 1c) ≠ ∅))
13		neeq1 2524	. . . . 5 ⊢ (n = x → (n ≠ ∅ ↔ x ≠ ∅))
14		nulel0c 4422	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 0c
15		ne0i 3556	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 0c → 0c ≠ ∅)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0c ≠ ∅
17		n0 3559	. . . . . 6 ⊢ (m ≠ ∅ ↔ ∃a a ∈ m)
18		vinf 4555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ V ∈ Fin
19		elunii 3896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((V ∈ m ∧ m ∈ Nn ) → V ∈ ∪ Nn )
20	19	ancoms 439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ V ∈ m) → V ∈ ∪ Nn )
21		df-fin 4380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Fin = ∪ Nn
22	20, 21	syl6eleqr 2444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ V ∈ m) → V ∈ Fin )
23	22	ex 423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (m ∈ Nn → (V ∈ m → V ∈ Fin ))
24	18, 23	mtoi 169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (m ∈ Nn → ¬ V ∈ m)
25		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (a = V → (a ∈ m ↔ V ∈ m))
26	25	notbid 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (a = V → (¬ a ∈ m ↔ ¬ V ∈ m))
27	24, 26	syl5ibrcom 213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (m ∈ Nn → (a = V → ¬ a ∈ m))
28	27	necon2ad 2564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (m ∈ Nn → (a ∈ m → a ≠ V))
29	28	imp 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → a ≠ V)
30		compleqb 3543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (a = V ↔ ∼ a = ∼ V)
31	30	necon3bii 2548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (a ≠ V ↔ ∼ a ≠ ∼ V)
32	29, 31	sylib 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → ∼ a ≠ ∼ V)
33		complV 4070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∼ V = ∅
34	33	neeq2i 2527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ∼ a ≠ ∼ V ↔ ∼ a ≠ ∅)
35	32, 34	sylib 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → ∼ a ≠ ∅)
36		n0 3559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ∼ a ≠ ∅ ↔ ∃x x ∈ ∼ a)
37		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ x ∈ V
38	37	elcompl 3225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ∼ a ↔ ¬ x ∈ a)
39	37	elsuci 4414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((a ∈ m ∧ ¬ x ∈ a) → (a ∪ {x}) ∈ (m +c 1c))
40		ne0i 3556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((a ∪ {x}) ∈ (m +c 1c) → (m +c 1c) ≠ ∅)
41	39, 40	syl 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((a ∈ m ∧ ¬ x ∈ a) → (m +c 1c) ≠ ∅)
42	38, 41	sylan2b 461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((a ∈ m ∧ x ∈ ∼ a) → (m +c 1c) ≠ ∅)
43	42	ex 423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (a ∈ m → (x ∈ ∼ a → (m +c 1c) ≠ ∅))
44	43	adantl 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → (x ∈ ∼ a → (m +c 1c) ≠ ∅))
45	44	exlimdv 1636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → (∃x x ∈ ∼ a → (m +c 1c) ≠ ∅))
46	36, 45	syl5bi 208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → ( ∼ a ≠ ∅ → (m +c 1c) ≠ ∅))
47	35, 46	mpd 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((m ∈ Nn ∧ a ∈ m) → (m +c 1c) ≠ ∅)
48	47	ex 423	. . . . . . 7 ⊢ (m ∈ Nn → (a ∈ m → (m +c 1c) ≠ ∅))
49	48	exlimdv 1636	. . . . . 6 ⊢ (m ∈ Nn → (∃a a ∈ m → (m +c 1c) ≠ ∅))
50	17, 49	syl5bi 208	. . . . 5 ⊢ (m ∈ Nn → (m ≠ ∅ → (m +c 1c) ≠ ∅))
51	9, 10, 11, 12, 13, 16, 50	finds 4411	. . . 4 ⊢ (x ∈ Nn → x ≠ ∅)
52	51	neneqd 2532	. . 3 ⊢ (x ∈ Nn → ¬ x = ∅)
53	52	nrex 2716	. 2 ⊢ ¬ ∃x ∈ Nn x = ∅
54		risset 2661	. 2 ⊢ (∅ ∈ Nn ↔ ∃x ∈ Nn x = ∅)
55	53, 54	mtbir 290	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ Nn

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   ∪ cun 3207  ∅c0 3550  {csn 3737  ∪cuni 3891  1_cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0_cc0c 4374   +_c cplc 4375   Fin cfin 4376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447

This theorem is referenced by:  peano4  4557  addccan2  4559  nntccl  6170