Theorem 0unit 13763

Description: The additive identity is a unit if and only if 1 = 0, i.e. we are in the zero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0unit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
0unit.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0unit.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0unit	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 = 0 ))

Proof of Theorem 0unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0unit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
3		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		0unit.3	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	unitrinv 13761	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → ( 0 (.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 0 )) = 1 )
6		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	1, 2, 6	ringinvcl 13759	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
8		0unit.2	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	6, 3, 8	ringlz 13677	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 0 )) = 0 )
10	7, 9	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → ( 0 (.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 0 )) = 0 )
11	5, 10	eqtr3d 2231	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → 1 = 0 )
12		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
13	1, 4	1unit 13741	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 1 ∈ 𝑈)
15	12, 14	eqeltrrd 2274	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 0 ∈ 𝑈)
16	11, 15	impbida 596	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12705  ._rcmulr 12783  0_gc0g 12960  1_rcur 13593  Ringcrg 13630  Unitcui 13721  inv_rcinvr 13754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-tpos 6312  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-0g 12962  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-minusg 13208  df-cmn 13494  df-abl 13495  df-mgp 13555  df-ur 13594  df-srg 13598  df-ring 13632  df-oppr 13702  df-dvdsr 13723  df-unit 13724  df-invr 13755

This theorem is referenced by:  nzrunit  13822  aprirr  13917