Theorem 0unit 14359

Description: The additive identity is a unit if and only if 1 = 0, i.e. we are in the zero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
0unit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
0unit.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0unit.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
0unit	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 = 0 ))

Proof of Theorem 0unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0unit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
2		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
3		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		0unit.3	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	unitrinv 14357	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → ( 0 (.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 0 )) = 1 )
6		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	1, 2, 6	ringinvcl 14355	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
8		0unit.2	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	6, 3, 8	ringlz 14271	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘ 0 ) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 0 )) = 0 )
10	7, 9	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → ( 0 (.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘ 0 )) = 0 )
11	5, 10	eqtr3d 2269	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ 𝑈) → 1 = 0 )
12		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 1 = 0 )
13	1, 4	1unit 14337	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)
14	13	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 1 ∈ 𝑈)
15	12, 14	eqeltrrd 2312	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 0 ∈ 𝑈)
16	11, 15	impbida 600	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 1 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  ._rcmulr 13375  0_gc0g 13553  1_rcur 14187  Ringcrg 14224  Unitcui 14316  inv_rcinvr 14350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-tpos 6489  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-cmn 14087  df-abl 14088  df-mgp 14149  df-ur 14188  df-srg 14192  df-ring 14226  df-oppr 14296  df-dvdsr 14318  df-unit 14319  df-invr 14351

This theorem is referenced by:  nzrunit  14418  aprirr  14518