ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1idpr Unicode version

Theorem 1idpr 7098
Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.)
Assertion
Ref Expression
1idpr  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  1P )  =  A )

Proof of Theorem 1idpr
StepHypRef Expression
1 1idprl 7096 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1st `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 1st `  A ) )
2 1idpru 7097 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A ) )
3 1pr 7060 . . . 4  |-  1P  e.  P.
4 mulclpr 7078 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( A  .P.  1P )  e.  P. )
53, 4mpan2 416 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  1P )  e. 
P. )
6 preqlu 6978 . . 3  |-  ( ( ( A  .P.  1P )  e.  P.  /\  A  e.  P. )  ->  (
( A  .P.  1P )  =  A  <->  ( ( 1st `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 1st `  A )  /\  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A
) ) ) )
75, 6mpancom 413 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( A  .P.  1P )  =  A  <->  ( ( 1st `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 1st `  A )  /\  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A
) ) ) )
81, 2, 7mpbir2and 888 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  1P )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   ` cfv 4983  (class class class)co 5615   1stc1st 5868   2ndc2nd 5869   P.cnp 6797   1Pc1p 6798    .P. cmp 6800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-eprel 4092  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-irdg 6091  df-1o 6137  df-2o 6138  df-oadd 6141  df-omul 6142  df-er 6246  df-ec 6248  df-qs 6252  df-ni 6810  df-pli 6811  df-mi 6812  df-lti 6813  df-plpq 6850  df-mpq 6851  df-enq 6853  df-nqqs 6854  df-plqqs 6855  df-mqqs 6856  df-1nqqs 6857  df-rq 6858  df-ltnqqs 6859  df-enq0 6930  df-nq0 6931  df-0nq0 6932  df-plq0 6933  df-mq0 6934  df-inp 6972  df-i1p 6973  df-imp 6975
This theorem is referenced by:  ltmprr  7148  m1m1sr  7254  1idsr  7261  recidpirqlemcalc  7341
  Copyright terms: Public domain W3C validator