Theorem 1idpr 7590

Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1idpr	|- ( A e. P. -> ( A .P. 1P ) = A )

Proof of Theorem 1idpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1idprl 7588	. 2 |- ( A e. P. -> ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) = ( 1st ` A ) )
2		1idpru 7589	. 2 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) = ( 2nd ` A ) )
3		1pr 7552	. . . 4 |- 1P e. P.
4		mulclpr 7570	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A .P. 1P ) e. P. )
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. P. -> ( A .P. 1P ) e. P. )
6		preqlu 7470	. . 3 |- ( ( ( A .P. 1P ) e. P. /\ A e. P. ) -> ( ( A .P. 1P ) = A <-> ( ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) = ( 1st ` A ) /\ ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) = ( 2nd ` A ) ) ) )
7	5, 6	mpancom 422	. 2 |- ( A e. P. -> ( ( A .P. 1P ) = A <-> ( ( 1st ` ( A .P. 1P ) ) = ( 1st ` A ) /\ ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) = ( 2nd ` A ) ) ) )
8	1, 2, 7	mpbir2and 944	1 |- ( A e. P. -> ( A .P. 1P ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   1stc1st 6138   2ndc2nd 6139   P.cnp 7289   1Pc1p 7290   .P. cmp 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-imp 7467

This theorem is referenced by:  ltmprr  7640  m1m1sr  7759  1idsr  7766  recidpirqlemcalc  7855