ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1idpr Unicode version

Theorem 1idpr 7072
Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.)
Assertion
Ref Expression
1idpr  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  1P )  =  A )

Proof of Theorem 1idpr
StepHypRef Expression
1 1idprl 7070 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1st `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 1st `  A ) )
2 1idpru 7071 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A ) )
3 1pr 7034 . . . 4  |-  1P  e.  P.
4 mulclpr 7052 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( A  .P.  1P )  e.  P. )
53, 4mpan2 416 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  1P )  e. 
P. )
6 preqlu 6952 . . 3  |-  ( ( ( A  .P.  1P )  e.  P.  /\  A  e.  P. )  ->  (
( A  .P.  1P )  =  A  <->  ( ( 1st `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 1st `  A )  /\  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A
) ) ) )
75, 6mpancom 413 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( A  .P.  1P )  =  A  <->  ( ( 1st `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 1st `  A )  /\  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A
) ) ) )
81, 2, 7mpbir2and 888 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  1P )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   ` cfv 4972  (class class class)co 5594   1stc1st 5847   2ndc2nd 5848   P.cnp 6771   1Pc1p 6772    .P. cmp 6774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-eprel 4083  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-irdg 6070  df-1o 6116  df-2o 6117  df-oadd 6120  df-omul 6121  df-er 6225  df-ec 6227  df-qs 6231  df-ni 6784  df-pli 6785  df-mi 6786  df-lti 6787  df-plpq 6824  df-mpq 6825  df-enq 6827  df-nqqs 6828  df-plqqs 6829  df-mqqs 6830  df-1nqqs 6831  df-rq 6832  df-ltnqqs 6833  df-enq0 6904  df-nq0 6905  df-0nq0 6906  df-plq0 6907  df-mq0 6908  df-inp 6946  df-i1p 6947  df-imp 6949
This theorem is referenced by:  ltmprr  7122  m1m1sr  7228  1idsr  7235  recidpirqlemcalc  7315
  Copyright terms: Public domain W3C validator