Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1idpr GIF version

Theorem 1idpr 7423
 Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.)
Assertion
Ref Expression
1idpr (𝐴P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Proof of Theorem 1idpr
StepHypRef Expression
1 1idprl 7421 . 2 (𝐴P → (1st ‘(𝐴 ·P 1P)) = (1st𝐴))
2 1idpru 7422 . 2 (𝐴P → (2nd ‘(𝐴 ·P 1P)) = (2nd𝐴))
3 1pr 7385 . . . 4 1PP
4 mulclpr 7403 . . . 4 ((𝐴P ∧ 1PP) → (𝐴 ·P 1P) ∈ P)
53, 4mpan2 422 . . 3 (𝐴P → (𝐴 ·P 1P) ∈ P)
6 preqlu 7303 . . 3 (((𝐴 ·P 1P) ∈ P𝐴P) → ((𝐴 ·P 1P) = 𝐴 ↔ ((1st ‘(𝐴 ·P 1P)) = (1st𝐴) ∧ (2nd ‘(𝐴 ·P 1P)) = (2nd𝐴))))
75, 6mpancom 419 . 2 (𝐴P → ((𝐴 ·P 1P) = 𝐴 ↔ ((1st ‘(𝐴 ·P 1P)) = (1st𝐴) ∧ (2nd ‘(𝐴 ·P 1P)) = (2nd𝐴))))
81, 2, 7mpbir2and 929 1 (𝐴P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  1st c1st 6043  2nd c2nd 6044  Pcnp 7122  1Pc1p 7123   ·P cmp 7125 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-eprel 4218  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-1o 6320  df-2o 6321  df-oadd 6324  df-omul 6325  df-er 6436  df-ec 6438  df-qs 6442  df-ni 7135  df-pli 7136  df-mi 7137  df-lti 7138  df-plpq 7175  df-mpq 7176  df-enq 7178  df-nqqs 7179  df-plqqs 7180  df-mqqs 7181  df-1nqqs 7182  df-rq 7183  df-ltnqqs 7184  df-enq0 7255  df-nq0 7256  df-0nq0 7257  df-plq0 7258  df-mq0 7259  df-inp 7297  df-i1p 7298  df-imp 7300 This theorem is referenced by:  ltmprr  7473  m1m1sr  7592  1idsr  7599  recidpirqlemcalc  7688
 Copyright terms: Public domain W3C validator