Theorem 1idpr 7622

Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1idpr	⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Proof of Theorem 1idpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1idprl 7620	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1st ‘(𝐴 ·P 1P)) = (1st ‘𝐴))
2		1idpru 7621	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (2nd ‘(𝐴 ·P 1P)) = (2nd ‘𝐴))
3		1pr 7584	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
4		mulclpr 7602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 ·P 1P) ∈ P)
5	3, 4	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) ∈ P)
6		preqlu 7502	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → ((𝐴 ·P 1P) = 𝐴 ↔ ((1st ‘(𝐴 ·P 1P)) = (1st ‘𝐴) ∧ (2nd ‘(𝐴 ·P 1P)) = (2nd ‘𝐴))))
7	5, 6	mpancom 422	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝐴 ·P 1P) = 𝐴 ↔ ((1st ‘(𝐴 ·P 1P)) = (1st ‘𝐴) ∧ (2nd ‘(𝐴 ·P 1P)) = (2nd ‘𝐴))))
8	1, 2, 7	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 ·P 1P) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  1^st c1st 6164  2^nd c2nd 6165  Pcnp 7321  1_Pc1p 7322   ·_P cmp 7324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-pli 7335  df-mi 7336  df-lti 7337  df-plpq 7374  df-mpq 7375  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-plqqs 7379  df-mqqs 7380  df-1nqqs 7381  df-rq 7382  df-ltnqqs 7383  df-enq0 7454  df-nq0 7455  df-0nq0 7456  df-plq0 7457  df-mq0 7458  df-inp 7496  df-i1p 7497  df-imp 7499

This theorem is referenced by:  ltmprr  7672  m1m1sr  7791  1idsr  7798  recidpirqlemcalc  7887