Theorem 1nsgtrivd 13292

Description: A group with exactly one normal subgroup is trivial. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
1nsgtrivd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
1nsgtrivd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
1nsgtrivd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
1nsgtrivd.4	⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o)

Assertion

Ref	Expression
1nsgtrivd	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 1nsgtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nsgtrivd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		1nsgtrivd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	2	nsgid 13288	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
4	1, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5		1nsgtrivd.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	0nsg 13287	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
7	1, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
8		1nsgtrivd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o)
9		en1eqsn 7009	. . . 4 ⊢ (({ 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }})
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }})
11	4, 10	eleqtrd 2272	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {{ 0 }})
12	7	elexd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
13		elsn2g 3652	. . 3 ⊢ ({ 0 } ∈ V → (𝐵 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝐵 = { 0 }))
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝐵 = { 0 }))
15	11, 14	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  {csn 3619   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  1_oc1o 6464   ≈ cen 6794  Basecbs 12621  0_gc0g 12870  Grpcgrp 13075  NrmSGrpcnsg 13241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-submnd 13035  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-subg 13243  df-nsg 13244

This theorem is referenced by: (None)