Theorem 1nsgtrivd 13526

Description: A group with exactly one normal subgroup is trivial. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
1nsgtrivd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
1nsgtrivd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
1nsgtrivd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
1nsgtrivd.4	⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o)

Assertion

Ref	Expression
1nsgtrivd	⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 1nsgtrivd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nsgtrivd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		1nsgtrivd.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	2	nsgid 13522	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
4	1, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5		1nsgtrivd.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	5	0nsg 13521	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
7	1, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
8		1nsgtrivd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o)
9		en1eqsn 7049	. . . 4 ⊢ (({ 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }})
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }})
11	4, 10	eleqtrd 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {{ 0 }})
12	7	elexd 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
13		elsn2g 3665	. . 3 ⊢ ({ 0 } ∈ V → (𝐵 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝐵 = { 0 }))
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝐵 = { 0 }))
15	11, 14	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  {csn 3632   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  1_oc1o 6494   ≈ cen 6824  Basecbs 12803  0_gc0g 13059  Grpcgrp 13303  NrmSGrpcnsg 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-1o 6501  df-er 6619  df-en 6827  df-fin 6829  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-sets 12810  df-iress 12811  df-plusg 12893  df-0g 13061  df-mgm 13159  df-sgrp 13205  df-mnd 13220  df-submnd 13263  df-grp 13306  df-minusg 13307  df-sbg 13308  df-subg 13477  df-nsg 13478

This theorem is referenced by: (None)