Theorem gt0ap0ii 8890

Description: Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0i.1	|- A e. RR
gt0ap0i.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0ii	|- A # 0

Proof of Theorem gt0ap0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0i.2	. 2 |- 0 < A
2		gt0ap0i.1	. . 3 |- A e. RR
3	2	gt0ap0i 8889	. 2 |- ( 0 < A -> A # 0 )
4	1, 3	ax-mp 5	1 |- A # 0

Syntax hints:   e. wcel 2203   class class class wbr 4102   RRcr 8114   0cc0 8115   < clt 8296   # cap 8843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-apti 8230  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-br 4103  df-opab 4165  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-ltxr 8301  df-sub 8434  df-neg 8435  df-reap 8837  df-ap 8844

This theorem is referenced by:  eqneg  8994  nnap0i  9256  2ap0  9318  3ap0  9321  4ap0  9324  8th4div3  9445  halfpm6th  9446  5recm6rec  9838  resqrexlemover  11673  0.999...  12185  efi4p  12381  resin4p  12382  recos4p  12383  ef01bndlem  12420  cos2bnd  12424  sincos2sgn  12430  eap0  12448  sinhalfpilem  15626  sincos4thpi  15675  tan4thpi  15676  sincos6thpi  15677  2lgsoddprmlem1  15948  2lgsoddprmlem2  15949  2lgsoddprmlem3a  15950  2lgsoddprmlem3b  15951  2lgsoddprmlem3c  15952  2lgsoddprmlem3d  15953