Theorem gt0ap0ii 8701

Description: Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0i.1	|- A e. RR
gt0ap0i.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0ii	|- A # 0

Proof of Theorem gt0ap0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0i.2	. 2 |- 0 < A
2		gt0ap0i.1	. . 3 |- A e. RR
3	2	gt0ap0i 8700	. 2 |- ( 0 < A -> A # 0 )
4	1, 3	ax-mp 5	1 |- A # 0

Syntax hints:   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   0cc0 7925   < clt 8107   # cap 8654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655

This theorem is referenced by:  eqneg  8805  nnap0i  9067  2ap0  9129  3ap0  9132  4ap0  9135  8th4div3  9256  halfpm6th  9257  5recm6rec  9647  resqrexlemover  11321  0.999...  11832  efi4p  12028  resin4p  12029  recos4p  12030  ef01bndlem  12067  cos2bnd  12071  sincos2sgn  12077  eap0  12095  sinhalfpilem  15263  sincos4thpi  15312  tan4thpi  15313  sincos6thpi  15314  2lgsoddprmlem1  15582  2lgsoddprmlem2  15583  2lgsoddprmlem3a  15584  2lgsoddprmlem3b  15585  2lgsoddprmlem3c  15586  2lgsoddprmlem3d  15587