Theorem gt0ap0ii 8649

Description: Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0i.1	|- A e. RR
gt0ap0i.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0ii	|- A # 0

Proof of Theorem gt0ap0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0i.2	. 2 |- 0 < A
2		gt0ap0i.1	. . 3 |- A e. RR
3	2	gt0ap0i 8648	. 2 |- ( 0 < A -> A # 0 )
4	1, 3	ax-mp 5	1 |- A # 0

Syntax hints:   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   RRcr 7873   0cc0 7874   < clt 8056   # cap 8602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603

This theorem is referenced by:  eqneg  8753  nnap0i  9015  2ap0  9077  3ap0  9080  4ap0  9083  8th4div3  9204  halfpm6th  9205  5recm6rec  9594  resqrexlemover  11157  0.999...  11667  efi4p  11863  resin4p  11864  recos4p  11865  ef01bndlem  11902  cos2bnd  11906  sincos2sgn  11912  eap0  11930  sinhalfpilem  14967  sincos4thpi  15016  tan4thpi  15017  sincos6thpi  15018  2lgsoddprmlem1  15262  2lgsoddprmlem2  15263  2lgsoddprmlem3a  15264  2lgsoddprmlem3b  15265  2lgsoddprmlem3c  15266  2lgsoddprmlem3d  15267