Theorem gt0ap0ii 8808

Description: Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gt0ap0i.1	|- A e. RR
gt0ap0i.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0ii	|- A # 0

Proof of Theorem gt0ap0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ap0i.2	. 2 |- 0 < A
2		gt0ap0i.1	. . 3 |- A e. RR
3	2	gt0ap0i 8807	. 2 |- ( 0 < A -> A # 0 )
4	1, 3	ax-mp 5	1 |- A # 0

Syntax hints:   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RRcr 8031   0cc0 8032   < clt 8214   # cap 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762

This theorem is referenced by:  eqneg  8912  nnap0i  9174  2ap0  9236  3ap0  9239  4ap0  9242  8th4div3  9363  halfpm6th  9364  5recm6rec  9754  resqrexlemover  11571  0.999...  12083  efi4p  12279  resin4p  12280  recos4p  12281  ef01bndlem  12318  cos2bnd  12322  sincos2sgn  12328  eap0  12346  sinhalfpilem  15517  sincos4thpi  15566  tan4thpi  15567  sincos6thpi  15568  2lgsoddprmlem1  15836  2lgsoddprmlem2  15837  2lgsoddprmlem3a  15838  2lgsoddprmlem3b  15839  2lgsoddprmlem3c  15840  2lgsoddprmlem3d  15841