Theorem 5recm6rec 9753

Description: One fifth minus one sixth. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
5recm6rec	⊢ ((1 / 5) − (1 / 6)) = (1 / ;30)

Proof of Theorem 5recm6rec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5cn 9222	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
2		6cn 9224	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
3		5re 9221	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		5pos 9242	. . . 4 ⊢ 0 < 5
5	3, 4	gt0ap0ii 8807	. . 3 ⊢ 5 # 0
6		6re 9223	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
7		6pos 9243	. . . 4 ⊢ 0 < 6
8	6, 7	gt0ap0ii 8807	. . 3 ⊢ 6 # 0
9	1, 2, 5, 8	subrecapi 9019	. 2 ⊢ ((1 / 5) − (1 / 6)) = ((6 − 5) / (5 · 6))
10		ax-1cn 8124	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		5p1e6 9280	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
12	2, 1, 10, 11	subaddrii 8467	. . 3 ⊢ (6 − 5) = 1
13		6t5e30 9716	. . . 4 ⊢ (6 · 5) = ;30
14	2, 1, 13	mulcomli 8185	. . 3 ⊢ (5 · 6) = ;30
15	12, 14	oveq12i 6029	. 2 ⊢ ((6 − 5) / (5 · 6)) = (1 / ;30)
16	9, 15	eqtri 2252	1 ⊢ ((1 / 5) − (1 / 6)) = (1 / ;30)

Syntax hints:   = wceq 1397  (class class class)co 6017  0cc0 8031  1c1 8032   · cmul 8036   − cmin 8349   / cdiv 8851  3c3 9194  5c5 9196  6c6 9197  ;cdc 9610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611

This theorem is referenced by: (None)