Theorem 5recm6rec 9920

Description: One fifth minus one sixth. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
5recm6rec	⊢ ((1 / 5) − (1 / 6)) = (1 / ;30)

Proof of Theorem 5recm6rec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5cn 9384	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
2		6cn 9386	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
3		5re 9383	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		5pos 9404	. . . 4 ⊢ 0 < 5
5	3, 4	gt0ap0ii 8956	. . 3 ⊢ 5 # 0
6		6re 9385	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
7		6pos 9405	. . . 4 ⊢ 0 < 6
8	6, 7	gt0ap0ii 8956	. . 3 ⊢ 6 # 0
9	1, 2, 5, 8	subrecapi 9170	. 2 ⊢ ((1 / 5) − (1 / 6)) = ((6 − 5) / (5 · 6))
10		ax-1cn 8272	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		5p1e6 9442	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
12	2, 1, 10, 11	subaddrii 8615	. . 3 ⊢ (6 − 5) = 1
13		6t5e30 9883	. . . 4 ⊢ (6 · 5) = ;30
14	2, 1, 13	mulcomli 8333	. . 3 ⊢ (5 · 6) = ;30
15	12, 14	oveq12i 6097	. 2 ⊢ ((6 − 5) / (5 · 6)) = (1 / ;30)
16	9, 15	eqtri 2259	1 ⊢ ((1 / 5) − (1 / 6)) = (1 / ;30)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   − cmin 8497   / cdiv 9002  3c3 9356  5c5 9358  6c6 9359  ;cdc 9777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-dec 9778

This theorem is used by: (None)