Theorem aprnzr 14522

Description: If the relation given by df-apr 14513 on a ring is an apartness relation, then the ring is a nonzero ring. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
aprnzr	|- ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) -> R e. NzRing )

Proof of Theorem aprnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) -> R e. Ring )
2		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> R e. Ring )
3	2	ringgrpd 14233	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> R e. Grp )
4		eqidd 2235	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
5		eqidd 2235	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
6		ringsrg 14275	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
7		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
8		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
9	7, 8	1unit 14337	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. (Unit ` R ) )
10	4, 5, 6, 9	unitcld 14338	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
12		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
13		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
14		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
15	12, 13, 14	grpsubid 13881	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
16	3, 11, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
17		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
18	9	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. (Unit ` R ) )
19	17, 18	eqeltrrd 2312	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) )
20	16, 19	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( 1r ` R ) ) e. (Unit ` R ) )
21		eqidd 2235	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
22		eqidd 2235	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> (#r ` R ) = (#r ` R ) )
23		eqidd 2235	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
24		eqidd 2235	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
25	21, 22, 23, 24, 2, 11, 11	aprval 14514	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) (#r ` R ) ( 1r ` R ) <-> ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( 1r ` R ) ) e. (Unit ` R ) ) )
26	20, 25	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) (#r ` R ) ( 1r ` R ) )
27		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) )
28		papirr 7575	. . . . 5 |- ( ( (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> -. ( 1r ` R ) (#r ` R ) ( 1r ` R ) )
29	27, 11, 28	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> -. ( 1r ` R ) (#r ` R ) ( 1r ` R ) )
30	26, 29	pm2.65da 667	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) -> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
31	30	neqned 2421	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
32	8, 13	isnzr 14411	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
33	1, 31, 32	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) -> R e. NzRing )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Ap wap 7571   Basecbs 13296   0gc0g 13553   Grpcgrp 13797   -gcsg 13799   1rcur 14187   Ringcrg 14224  Unitcui 14316  NzRingcnzr 14409  #_rcapr 14512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-tpos 6489  df-pap 7572  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-sbg 13802  df-cmn 14087  df-abl 14088  df-mgp 14149  df-ur 14188  df-srg 14192  df-ring 14226  df-oppr 14296  df-dvdsr 14318  df-unit 14319  df-nzr 14410  df-apr 14513

This theorem is referenced by:  aprlring  14523