Theorem aprnzr 14651

Description: If the relation given by df-apr 14642 on a ring is an apartness relation, then the ring is a nonzero ring. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
aprnzr	|- ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) -> R e. NzRing )

Proof of Theorem aprnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) -> R e. Ring )
2		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> R e. Ring )
3	2	ringgrpd 14361	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> R e. Grp )
4		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
5		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
6		ringsrg 14404	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
7		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
8		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
9	7, 8	1unit 14466	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. (Unit ` R ) )
10	4, 5, 6, 9	unitcld 14467	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
11	10	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
12		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
13		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
14		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
15	12, 13, 14	grpsubid 13941	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
16	3, 11, 15	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
17		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
18	9	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. (Unit ` R ) )
19	17, 18	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) )
20	16, 19	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( 1r ` R ) ) e. (Unit ` R ) )
21		eqidd 2239	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
22		eqidd 2239	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> (#r ` R ) = (#r ` R ) )
23		eqidd 2239	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( -g ` R ) = ( -g ` R ) )
24		eqidd 2239	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> (Unit ` R ) = (Unit ` R ) )
25	21, 22, 23, 24, 2, 11, 11	aprval 14643	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) (#r ` R ) ( 1r ` R ) <-> ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( 1r ` R ) ) e. (Unit ` R ) ) )
26	20, 25	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) (#r ` R ) ( 1r ` R ) )
27		simplr 533	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) )
28		papirr 7612	. . . . 5 |- ( ( (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> -. ( 1r ` R ) (#r ` R ) ( 1r ` R ) )
29	27, 11, 28	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> -. ( 1r ` R ) (#r ` R ) ( 1r ` R ) )
30	26, 29	pm2.65da 671	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) -> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
31	30	neqned 2427	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
32	8, 13	isnzr 14540	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
33	1, 31, 32	sylanbrc 421	1 |- ( ( R e. Ring /\ (#r ` R ) Ap ( Base ` R ) ) -> R e. NzRing )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Ap wap 7608   Basecbs 13404   0gc0g 13662   Grpcgrp 13857   -gcsg 13859   1rcur 14314   Ringcrg 14352  Unitcui 14445  NzRingcnzr 14538  #_rcapr 14641

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-pap 7609  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13496  df-mulr 13497  df-0g 13664  df-mgm 13728  df-sgrp 13769  df-mnd 13782  df-grp 13860  df-minusg 13861  df-sbg 13862  df-cmn 14141  df-abl 14142  df-mgp 14270  df-ur 14315  df-srg 14320  df-ring 14354  df-oppr 14425  df-dvdsr 14447  df-unit 14448  df-nzr 14539  df-apr 14642

This theorem is used by:  aprlring  14652