Theorem aprnzr 14425

Description: If the relation given by df-apr 14419 on a ring is an apartness relation, then the ring is a nonzero ring. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
aprnzr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem aprnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ringgrpd 14141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqidd 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
6		ringsrg 14183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
7		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	7, 8	1unit 14244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
10	4, 5, 6, 9	unitcld 14245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
15	12, 13, 14	grpsubid 13789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	3, 11, 15	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
17		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
18	9	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
19	17, 18	eqeltrrd 2310	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
20	16, 19	eqeltrd 2309	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
21		eqidd 2233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
22		eqidd 2233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (#r‘𝑅) = (#r‘𝑅))
23		eqidd 2233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
24		eqidd 2233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
25	21, 22, 23, 24, 2, 11, 11	aprval 14420	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(#r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	20, 25	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅)(#r‘𝑅)(1r‘𝑅))
27		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅))
28		papirr 7559	. . . . 5 ⊢ (((#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ¬ (1r‘𝑅)(#r‘𝑅)(1r‘𝑅))
29	27, 11, 28	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ¬ (1r‘𝑅)(#r‘𝑅)(1r‘𝑅))
30	26, 29	pm2.65da 667	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) → ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
31	30	neqned 2419	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	8, 13	isnzr 14318	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
33	1, 31, 32	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   Ap wap 7557  Basecbs 13204  0_gc0g 13461  Grpcgrp 13705  -_gcsg 13707  1_rcur 14095  Ringcrg 14132  Unitcui 14223  NzRingcnzr 14316  #_rcapr 14418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-pap 7558  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-sbg 13710  df-cmn 13995  df-abl 13996  df-mgp 14057  df-ur 14096  df-srg 14100  df-ring 14134  df-oppr 14204  df-dvdsr 14225  df-unit 14226  df-nzr 14317  df-apr 14419

This theorem is referenced by:  aprlring  14426