Theorem aprnzr 14650

Description: If the relation given by df-apr 14641 on a ring is an apartness relation, then the ring is a nonzero ring. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
aprnzr	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem aprnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpll 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
3	2	ringgrpd 14360	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
6		ringsrg 14403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
7		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	7, 8	1unit 14465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
10	4, 5, 6, 9	unitcld 14466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	10	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
14		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
15	12, 13, 14	grpsubid 13940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	3, 11, 15	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
17		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
18	9	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
19	17, 18	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
20	16, 19	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
21		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
22		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (#r‘𝑅) = (#r‘𝑅))
23		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅))
24		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
25	21, 22, 23, 24, 2, 11, 11	aprval 14642	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(#r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ ((1r‘𝑅)(-g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅)))
26	20, 25	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅)(#r‘𝑅)(1r‘𝑅))
27		simplr 533	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅))
28		papirr 7612	. . . . 5 ⊢ (((#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ¬ (1r‘𝑅)(#r‘𝑅)(1r‘𝑅))
29	27, 11, 28	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) ∧ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)) → ¬ (1r‘𝑅)(#r‘𝑅)(1r‘𝑅))
30	26, 29	pm2.65da 671	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) → ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
31	30	neqned 2427	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
32	8, 13	isnzr 14539	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
33	1, 31, 32	sylanbrc 421	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (#r‘𝑅) Ap (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   Ap wap 7608  Basecbs 13403  0_gc0g 13661  Grpcgrp 13856  -_gcsg 13858  1_rcur 14313  Ringcrg 14351  Unitcui 14444  NzRingcnzr 14537  #_rcapr 14640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-pap 7609  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-sets 13410  df-plusg 13495  df-mulr 13496  df-0g 13663  df-mgm 13727  df-sgrp 13768  df-mnd 13781  df-grp 13859  df-minusg 13860  df-sbg 13861  df-cmn 14140  df-abl 14141  df-mgp 14269  df-ur 14314  df-srg 14319  df-ring 14353  df-oppr 14424  df-dvdsr 14446  df-unit 14447  df-nzr 14538  df-apr 14641

This theorem is used by:  aprlring  14651