ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcnsr Unicode version
Theorem addcnsr 7982
Description: Addition of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 28-May-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcnsr |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. + <. C , D >. ) = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
Proof of Theorem addcnsr
Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclsr 7901 . . . 4 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A +R C ) e. R. )
21ad2ant2r 509 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A +R C ) e. R. )
3 addclsr 7901 . . . 4 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B +R D ) e. R. )
43ad2ant2l 508 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B +R D ) e. R. )
5 opelxpi 4725 . . 3 |- ( ( ( A +R C ) e. R. /\ ( B +R D ) e. R. ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
62, 4, 5syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
7 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> w = A )
8 simprl 529 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> u = C )
97, 8oveq12d 5985 . . 3 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( w +R u ) = ( A +R C ) )
10 simplr 528 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> v = B )
11 simprr 531 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> f = D )
1210, 11oveq12d 5985 . . 3 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( v +R f ) = ( B +R D ) )
139, 12opeq12d 3841 . 2 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
14 df-add 7971 . . 3 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
15 df-c 7966 . . . . . . 7 |- CC = ( R. X. R. )
1615eleq2i 2274 . . . . . 6 |- ( x e. CC <-> x e. ( R. X. R. ) )
1715eleq2i 2274 . . . . . 6 |- ( y e. CC <-> y e. ( R. X. R. ) )
1816, 17anbi12i 460 . . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) <-> ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) )
1918anbi1i 458 . . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) <-> ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
2019oprabbii 6023 . . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
2114, 20eqtri 2228 . 2 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
226, 13, 21ovi3 6106 1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. + <. C , D >. ) = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   <.cop 3646   X. cxp 4691  (class class class)co 5967   {coprab 5968   R.cnr 7445   +R cplr 7449   CCcc 7958   + caddc 7963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-lti 7455  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498  df-1nqqs 7499  df-rq 7500  df-ltnqqs 7501  df-enq0 7572  df-nq0 7573  df-0nq0 7574  df-plq0 7575  df-mq0 7576  df-inp 7614  df-iplp 7616  df-enr 7874  df-nr 7875  df-plr 7876  df-c 7966  df-add 7971
This theorem is referenced by:  addresr  7985  addcnsrec  7990  axaddcl  8012  axaddcom  8018  ax0id  8026  axcnre  8029
  Copyright terms: Public domain W3C validator