ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcnsr Unicode version
Theorem addcnsr 7847
Description: Addition of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 28-May-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcnsr |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. + <. C , D >. ) = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
Proof of Theorem addcnsr
Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addclsr 7766 . . . 4 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A +R C ) e. R. )
21ad2ant2r 509 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A +R C ) e. R. )
3 addclsr 7766 . . . 4 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B +R D ) e. R. )
43ad2ant2l 508 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B +R D ) e. R. )
5 opelxpi 4670 . . 3 |- ( ( ( A +R C ) e. R. /\ ( B +R D ) e. R. ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
62, 4, 5syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
7 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> w = A )
8 simprl 529 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> u = C )
97, 8oveq12d 5906 . . 3 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( w +R u ) = ( A +R C ) )
10 simplr 528 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> v = B )
11 simprr 531 . . . 4 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> f = D )
1210, 11oveq12d 5906 . . 3 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> ( v +R f ) = ( B +R D ) )
139, 12opeq12d 3798 . 2 |- ( ( ( w = A /\ v = B ) /\ ( u = C /\ f = D ) ) -> <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
14 df-add 7836 . . 3 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
15 df-c 7831 . . . . . . 7 |- CC = ( R. X. R. )
1615eleq2i 2254 . . . . . 6 |- ( x e. CC <-> x e. ( R. X. R. ) )
1715eleq2i 2254 . . . . . 6 |- ( y e. CC <-> y e. ( R. X. R. ) )
1816, 17anbi12i 460 . . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) <-> ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) )
1918anbi1i 458 . . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) <-> ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
2019oprabbii 5943 . . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
2114, 20eqtri 2208 . 2 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
226, 13, 21ovi3 6025 1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. + <. C , D >. ) = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   <.cop 3607   X. cxp 4636  (class class class)co 5888   {coprab 5889   R.cnr 7310   +R cplr 7314   CCcc 7823   + caddc 7828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-0nq0 7439  df-plq0 7440  df-mq0 7441  df-inp 7479  df-iplp 7481  df-enr 7739  df-nr 7740  df-plr 7741  df-c 7831  df-add 7836
This theorem is referenced by:  addresr  7850  addcnsrec  7855  axaddcl  7877  axaddcom  7883  ax0id  7891  axcnre  7894
  Copyright terms: Public domain W3C validator