Theorem axcnex 7921

Description: The complex numbers form a set. Use cnex 7998 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnex	⊢ ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 7880	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		df-nr 7789	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
3		npex 7535	. . . . . . 7 ⊢ P ∈ V
4	3, 3	xpex 4775	. . . . . 6 ⊢ (P × P) ∈ V
5	4	pwex 4213	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (P × P) ∈ V
6		enrer 7797	. . . . . . . 8 ⊢ ~R Er (P × P)
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ~R Er (P × P))
8	7	qsss 6650	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
9	8	mptru 1373	. . . . 5 ⊢ ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
10	5, 9	ssexi 4168	. . . 4 ⊢ ((P × P) / ~R ) ∈ V
11	2, 10	eqeltri 2266	. . 3 ⊢ R ∈ V
12	11, 11	xpex 4775	. 2 ⊢ (R × R) ∈ V
13	1, 12	eqeltri 2266	1 ⊢ ℂ ∈ V

Syntax hints:  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3154  𝒫 cpw 3602   × cxp 4658   Er wer 6586   / cqs 6588  Pcnp 7353   ~_R cer 7358  Rcnr 7359  ℂcc 7872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-2o 6472  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-enq0 7486  df-nq0 7487  df-0nq0 7488  df-plq0 7489  df-mq0 7490  df-inp 7528  df-iplp 7530  df-enr 7788  df-nr 7789  df-c 7880

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  7954