Theorem axcnex 8034

Description: The complex numbers form a set. Use cnex 8111 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnex	⊢ ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 7993	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		df-nr 7902	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
3		npex 7648	. . . . . . 7 ⊢ P ∈ V
4	3, 3	xpex 4831	. . . . . 6 ⊢ (P × P) ∈ V
5	4	pwex 4266	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (P × P) ∈ V
6		enrer 7910	. . . . . . . 8 ⊢ ~R Er (P × P)
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ~R Er (P × P))
8	7	qsss 6731	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
9	8	mptru 1404	. . . . 5 ⊢ ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
10	5, 9	ssexi 4221	. . . 4 ⊢ ((P × P) / ~R ) ∈ V
11	2, 10	eqeltri 2302	. . 3 ⊢ R ∈ V
12	11, 11	xpex 4831	. 2 ⊢ (R × R) ∈ V
13	1, 12	eqeltri 2302	1 ⊢ ℂ ∈ V

Syntax hints:  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649   × cxp 4714   Er wer 6667   / cqs 6669  Pcnp 7466   ~_R cer 7471  Rcnr 7472  ℂcc 7985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4377  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-1o 6552  df-2o 6553  df-oadd 6556  df-omul 6557  df-er 6670  df-ec 6672  df-qs 6676  df-ni 7479  df-pli 7480  df-mi 7481  df-lti 7482  df-plpq 7519  df-mpq 7520  df-enq 7522  df-nqqs 7523  df-plqqs 7524  df-mqqs 7525  df-1nqqs 7526  df-rq 7527  df-ltnqqs 7528  df-enq0 7599  df-nq0 7600  df-0nq0 7601  df-plq0 7602  df-mq0 7603  df-inp 7641  df-iplp 7643  df-enr 7901  df-nr 7902  df-c 7993

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  8067