Theorem axcnex 7396

Description: The complex numbers form a set. Use cnex 7466 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnex	⊢ ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 7356	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		df-nr 7273	. . . 4 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
3		npex 7032	. . . . . . 7 ⊢ P ∈ V
4	3, 3	xpex 4553	. . . . . 6 ⊢ (P × P) ∈ V
5	4	pwex 4018	. . . . 5 ⊢ 𝒫 (P × P) ∈ V
6		enrer 7281	. . . . . . . 8 ⊢ ~R Er (P × P)
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ~R Er (P × P))
8	7	qsss 6351	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
9	8	mptru 1298	. . . . 5 ⊢ ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
10	5, 9	ssexi 3977	. . . 4 ⊢ ((P × P) / ~R ) ∈ V
11	2, 10	eqeltri 2160	. . 3 ⊢ R ∈ V
12	11, 11	xpex 4553	. 2 ⊢ (R × R) ∈ V
13	1, 12	eqeltri 2160	1 ⊢ ℂ ∈ V

Syntax hints:  ⊤wtru 1290   ∈ wcel 1438  Vcvv 2619   ⊆ wss 2999  𝒫 cpw 3429   × cxp 4436   Er wer 6289   / cqs 6291  Pcnp 6850   ~_R cer 6855  Rcnr 6856  ℂcc 7348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911  df-ltnqqs 6912  df-enq0 6983  df-nq0 6984  df-0nq0 6985  df-plq0 6986  df-mq0 6987  df-inp 7025  df-iplp 7027  df-enr 7272  df-nr 7273  df-c 7356

This theorem is referenced by:  peano5nnnn  7427