Theorem ceiqm1l 10636

Description: One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ceiqm1l	|- ( A e. QQ -> ( -u ( |_ ` -u A ) - 1 ) < A )

Proof of Theorem ceiqm1l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnegcl 9931	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )
2	1	flqcld 10600	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` -u A ) e. ZZ )
3	2	zcnd 9664	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` -u A ) e. CC )
4		1cnd 8255	. . . 4 |- ( A e. QQ -> 1 e. CC )
5	3, 4	negdid 8562	. . 3 |- ( A e. QQ -> -u ( ( |_ ` -u A ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` -u A ) + -u 1 ) )
6	3	negcld 8536	. . . 4 |- ( A e. QQ -> -u ( |_ ` -u A ) e. CC )
7	6, 4	negsubd 8555	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( -u ( |_ ` -u A ) + -u 1 ) = ( -u ( |_ ` -u A ) - 1 ) )
8	5, 7	eqtr2d 2265	. 2 |- ( A e. QQ -> ( -u ( |_ ` -u A ) - 1 ) = -u ( ( |_ ` -u A ) + 1 ) )
9		qre 9920	. . 3 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
10	2	peano2zd 9666	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( ( |_ ` -u A ) + 1 ) e. ZZ )
11	10	zred 9663	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( ( |_ ` -u A ) + 1 ) e. RR )
12		flqltp1 10602	. . . 4 |- ( -u A e. QQ -> -u A < ( ( |_ ` -u A ) + 1 ) )
13	1, 12	syl 14	. . 3 |- ( A e. QQ -> -u A < ( ( |_ ` -u A ) + 1 ) )
14	9, 11, 13	ltnegcon1d 8764	. 2 |- ( A e. QQ -> -u ( ( |_ ` -u A ) + 1 ) < A )
15	8, 14	eqbrtrd 4115	1 |- ( A e. QQ -> ( -u ( |_ ` -u A ) - 1 ) < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1c1 8093   + caddc 8095   < clt 8273   - cmin 8409   -ucneg 8410   QQcq 9914   |_cfl 10591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541  df-q 9915  df-rp 9950  df-fl 10593

This theorem is referenced by:  ceilqm1lt  10637  ceiqle  10638