Theorem ceiqm1l 10673

Description: One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ceiqm1l	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ceiqm1l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnegcl 9968	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)
2	1	flqcld 10637	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
3	2	zcnd 9701	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
4		1cnd 8290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ∈ ℂ)
5	3, 4	negdid 8597	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -((⌊‘-𝐴) + 1) = (-(⌊‘-𝐴) + -1))
6	3	negcld 8571	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
7	6, 4	negsubd 8590	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) + -1) = (-(⌊‘-𝐴) − 1))
8	5, 7	eqtr2d 2266	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) = -((⌊‘-𝐴) + 1))
9		qre 9957	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	2	peano2zd 9703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℤ)
11	10	zred 9700	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ)
12		flqltp1 10639	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
13	1, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
14	9, 11, 13	ltnegcon1d 8799	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴)
15	8, 14	eqbrtrd 4131	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   − cmin 8444  -cneg 8445  ℚcq 9951  ⌊cfl 10628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-q 9952  df-rp 9987  df-fl 10630

This theorem is referenced by:  ceilqm1lt  10674  ceiqle  10675