Theorem ceiqm1l 10572

Description: One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ceiqm1l	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ceiqm1l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnegcl 9869	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)
2	1	flqcld 10536	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
3	2	zcnd 9602	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
4		1cnd 8194	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ∈ ℂ)
5	3, 4	negdid 8502	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -((⌊‘-𝐴) + 1) = (-(⌊‘-𝐴) + -1))
6	3	negcld 8476	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
7	6, 4	negsubd 8495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) + -1) = (-(⌊‘-𝐴) − 1))
8	5, 7	eqtr2d 2265	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) = -((⌊‘-𝐴) + 1))
9		qre 9858	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	2	peano2zd 9604	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℤ)
11	10	zred 9601	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ)
12		flqltp1 10538	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
13	1, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
14	9, 11, 13	ltnegcon1d 8704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴)
15	8, 14	eqbrtrd 4110	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   − cmin 8349  -cneg 8350  ℚcq 9852  ⌊cfl 10527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-q 9853  df-rp 9888  df-fl 10529

This theorem is referenced by:  ceilqm1lt  10573  ceiqle  10574