Theorem ceiqm1l 10456

Description: One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ceiqm1l	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ceiqm1l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qnegcl 9757	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 ∈ ℚ)
2	1	flqcld 10420	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℤ)
3	2	zcnd 9496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
4		1cnd 8088	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ∈ ℂ)
5	3, 4	negdid 8396	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -((⌊‘-𝐴) + 1) = (-(⌊‘-𝐴) + -1))
6	3	negcld 8370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -(⌊‘-𝐴) ∈ ℂ)
7	6, 4	negsubd 8389	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) + -1) = (-(⌊‘-𝐴) − 1))
8	5, 7	eqtr2d 2239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) = -((⌊‘-𝐴) + 1))
9		qre 9746	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	2	peano2zd 9498	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℤ)
11	10	zred 9495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘-𝐴) + 1) ∈ ℝ)
12		flqltp1 10422	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
13	1, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -𝐴 < ((⌊‘-𝐴) + 1))
14	9, 11, 13	ltnegcon1d 8598	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -((⌊‘-𝐴) + 1) < 𝐴)
15	8, 14	eqbrtrd 4066	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (-(⌊‘-𝐴) − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   − cmin 8243  -cneg 8244  ℚcq 9740  ⌊cfl 10411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413

This theorem is referenced by:  ceilqm1lt  10457  ceiqle  10458