Theorem cjneg 11677

Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘ -𝐴) = -(∗‘𝐴))

Proof of Theorem cjneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 11640	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 8360	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 8280	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 11641	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 8360	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 8312	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	neg2subd 8661	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -(ℜ‘𝐴) − -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
9		reneg 11655	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
10		imneg 11663	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘ -𝐴) = -(ℑ‘𝐴))
11	10	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘ -𝐴)) = (i · -(ℑ‘𝐴)))
12		mulneg2 8730	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
13	3, 5, 12	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
14	11, 13	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘ -𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
15	9, 14	oveq12d 6106	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘ -𝐴) − (i · (ℑ‘ -𝐴))) = ( -(ℜ‘𝐴) − -(i · (ℑ‘𝐴))))
16	2, 7	negsubdi2d 8660	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) − (ℜ‘𝐴)))
17	8, 15, 16	3eqtr4d 2281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘ -𝐴) − (i · (ℑ‘ -𝐴))) = -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
18		negcl 8533	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
19		remim 11647	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (∗‘ -𝐴) = ((ℜ‘ -𝐴) − (i · (ℑ‘ -𝐴))))
20	18, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘ -𝐴) = ((ℜ‘ -𝐴) − (i · (ℑ‘ -𝐴))))
21		remim 11647	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
22	21	negeqd 8528	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(∗‘𝐴) = -((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘ -𝐴) = -(∗‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ici 8187   · cmul 8190   − cmin 8504   -cneg 8505  ∗ccj 11626  ℜcre 11627  ℑcim 11628

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-2 9372  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631

This theorem is used by:  cjsub  11679  cjnegi  11714  cjnegd  11744  absneg  11838