Theorem cncfss 15497

Description: The set of continuous functions is expanded when the codomain is expanded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfss	⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))

Proof of Theorem cncfss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 15491	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
3		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	2, 3	fssd 5524	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝑓:𝐴⟶𝐶)
5		cncfcdm 15496	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐶))
6	5	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐶))
7	4, 6	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐶))
8	7	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐶)))
9	8	ssrdv 3246	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3213  ⟶wf 5350  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  –cn→ccncf 15484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-map 6886  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-2 9301  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-cncf 15485

This theorem is referenced by:  maxcncf  15529  mincncf  15530  ivthreinc  15559  cnlimci  15587