Theorem mpocnfldmul 14698

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. Version of cnfldmul 14699 using maps-to notation, which does not require ax-mulf 8246. (Contributed by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpocnfldmul	|- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( .r ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem mpocnfldmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8247	. . 3 |- CC e. _V
2	1, 1	mpoex 6409	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V
3		cnfldstr 14693	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
4		mulrslid 13334	. . 3 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
5		snsstp3 3845	. . . 4 |- { <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. }
6		ssun1 3381	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
7		ssun1 3381	. . . . . 6 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
8		df-cnfld 14692	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
9	7, 8	sseqtrri 3272	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ℂfld
10	6, 9	sstri 3246	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ ℂfld
11	5, 10	sstri 3246	. . 3 |- { <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ ℂfld
12	3, 4, 11	strslfv 13246	. 2 |- ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( .r ` ℂfld ) )
13	2, 12	ax-mp 5	1 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( .r ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   u. cun 3208   {csn 3688   {ctp 3690   <.cop 3691   o. ccom 4752   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   e. cmpo 6051   CCcc 8121   1c1 8124   + caddc 8126   x. cmul 8128   <_ cle 8305   - cmin 8440   3c3 9285  ;cdc 9705   *ccj 11517   abscabs 11675   ndxcnx 13198   Basecbs 13201   +g cplusg 13279   .rcmulr 13280   *rcstv 13281  TopSetcts 13285   lecple 13286   distcds 13288   UnifSetcunif 13289   MetOpencmopn 14676  metUnifcmetu 14677  ℂ_fldccnfld 14691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-rp 9983  df-fz 10339  df-cj 11520  df-abs 11677  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-starv 13294  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-unif 13302  df-topgen 13462  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-fg 14684  df-metu 14685  df-cnfld 14692

This theorem is referenced by:  cnfldmul  14699  cnfldui  14724  expghmap  14742  dvply2g  15618