Theorem mpocnfldmul 14548

Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. Version of cnfldmul 14549 using maps-to notation, which does not require ax-mulf 8138. (Contributed by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mpocnfldmul	|- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( .r ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem mpocnfldmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8139	. . 3 |- CC e. _V
2	1, 1	mpoex 6371	. 2 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V
3		cnfldstr 14543	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
4		mulrslid 13186	. . 3 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
5		snsstp3 3820	. . . 4 |- { <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. }
6		ssun1 3367	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
7		ssun1 3367	. . . . . 6 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
8		df-cnfld 14542	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
9	7, 8	sseqtrri 3259	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ℂfld
10	6, 9	sstri 3233	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ ℂfld
11	5, 10	sstri 3233	. . 3 |- { <. ( .r ` ndx ) , ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) >. } C_ ℂfld
12	3, 4, 11	strslfv 13098	. 2 |- ( ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) e. _V -> ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( .r ` ℂfld ) )
13	2, 12	ax-mp 5	1 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x x. y ) ) = ( .r ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   {csn 3666   {ctp 3668   <.cop 3669   o. ccom 4724   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   e. cmpo 6012   CCcc 8013   1c1 8016   + caddc 8018   x. cmul 8020   <_ cle 8198   - cmin 8333   3c3 9178  ;cdc 9594   *ccj 11371   abscabs 11529   ndxcnx 13050   Basecbs 13053   +g cplusg 13131   .rcmulr 13132   *rcstv 13133  TopSetcts 13137   lecple 13138   distcds 13140   UnifSetcunif 13141   MetOpencmopn 14526  metUnifcmetu 14527  ℂ_fldccnfld 14541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-rp 9867  df-fz 10222  df-cj 11374  df-abs 11531  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-starv 13146  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-unif 13154  df-topgen 13314  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-fg 14534  df-metu 14535  df-cnfld 14542

This theorem is referenced by:  cnfldmul  14549  cnfldui  14574  expghmap  14592  dvply2g  15461