ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnsubrglem Unicode version

Theorem cnsubrglem 14050
Description: Lemma for zsubrg 14051 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
cnsubglem.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
cnsubglem.3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
cnsubrglem.4  |-  1  e.  A
cnsubrglem.5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnsubrglem  |-  A  e.  (SubRing ` fld )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem cnsubrglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  CC )
2 cnsubglem.2 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  +  y )  e.  A )
3 cnsubglem.3 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  -u x  e.  A )
4 cnsubrglem.4 . . 3  |-  1  e.  A
51, 2, 3, 4cnsubglem 14049 . 2  |-  A  e.  (SubGrp ` fld )
6 cnsubrglem.5 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  x.  y
)  e.  A )
76rgen2 2580 . 2  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  x.  y )  e.  A
8 cnring 14040 . . 3  |-fld  e.  Ring
9 cnfldbas 14035 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
10 cnfld1 14042 . . . 4  |-  1  =  ( 1r ` fld )
11 cnfldmul 14037 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` fld )
129, 10, 11issubrg2 13721 . . 3  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( A  e.  (SubRing ` fld ) 
<->  ( A  e.  (SubGrp ` fld )  /\  1  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  x.  y
)  e.  A ) ) )
138, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( A  e.  (SubRing ` fld )  <->  ( A  e.  (SubGrp ` fld )  /\  1  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  x.  y )  e.  A
) )
145, 4, 7, 13mpbir3an 1181 1  |-  A  e.  (SubRing ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   CCcc 7860   1c1 7863    + caddc 7865    x. cmul 7867   -ucneg 8181  SubGrpcsubg 13226   Ringcrg 13476  SubRingcsubrg 13697  ℂfldccnfld 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-addf 7984  ax-mulf 7985
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-6 9035  df-7 9036  df-8 9037  df-9 9038  df-n0 9231  df-z 9308  df-dec 9439  df-uz 9583  df-fz 10065  df-cj 10976  df-struct 12610  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-iress 12616  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-starv 12700  df-0g 12859  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-grp 13065  df-minusg 13066  df-subg 13229  df-cmn 13345  df-mgp 13401  df-ur 13440  df-ring 13478  df-cring 13479  df-subrg 13699  df-icnfld 14032
This theorem is referenced by:  zsubrg  14051  gzsubrg  14052
  Copyright terms: Public domain W3C validator