Theorem cnsubrglem 13880

Description: Lemma for zsubrg 13881 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	|- ( x e. A -> x e. CC )
cnsubglem.2	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
cnsubglem.3	|- ( x e. A -> -u x e. A )
cnsubrglem.4	|- 1 e. A
cnsubrglem.5	|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
cnsubrglem	|- A e. (SubRing ` ℂfld )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem cnsubrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 |- ( x e. A -> x e. CC )
2		cnsubglem.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x + y ) e. A )
3		cnsubglem.3	. . 3 |- ( x e. A -> -u x e. A )
4		cnsubrglem.4	. . 3 |- 1 e. A
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 13879	. 2 |- A e. (SubGrp ` ℂfld )
6		cnsubrglem.5	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x x. y ) e. A )
7	6	rgen2 2576	. 2 |- A. x e. A A. y e. A ( x x. y ) e. A
8		cnring 13870	. . 3 |- ℂfld e. Ring
9		cnfldbas 13865	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
10		cnfld1 13872	. . . 4 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
11		cnfldmul 13867	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℂfld )
12	9, 10, 11	issubrg2 13585	. . 3 |- (ℂfld e. Ring -> ( A e. (SubRing ` ℂfld ) <-> ( A e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ 1 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x x. y ) e. A ) ) )
13	8, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( A e. (SubRing ` ℂfld ) <-> ( A e. (SubGrp ` ℂfld ) /\ 1 e. A /\ A. x e. A A. y e. A ( x x. y ) e. A ) )
14	5, 4, 7, 13	mpbir3an 1181	1 |- A e. (SubRing ` ℂfld )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   A.wral 2468   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   1c1 7841   + caddc 7843   x. cmul 7845   -ucneg 8158  SubGrpcsubg 13103   Ringcrg 13347  SubRingcsubrg 13561  ℂ_fldccnfld 13861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-addf 7962  ax-mulf 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-9 9014  df-n0 9206  df-z 9283  df-dec 9414  df-uz 9558  df-fz 10038  df-cj 10882  df-struct 12513  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-iress 12519  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-starv 12601  df-0g 12760  df-mgm 12829  df-sgrp 12862  df-mnd 12875  df-grp 12945  df-minusg 12946  df-subg 13106  df-cmn 13222  df-mgp 13272  df-ur 13311  df-ring 13349  df-cring 13350  df-subrg 13563  df-icnfld 13862

This theorem is referenced by:  zsubrg  13881  gzsubrg  13882