Theorem difelfzle 10255

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfzle	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10235	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		elfznn0 10235	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		nn0z 9391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nn0z 9391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zsubcl 9412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
8		nn0re 9303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
9		nn0re 9303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		subge0 8547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑀))
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑀))
12	11	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐾))
13	7, 12	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
14	13	exp31 364	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑀 → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))))
15	1, 2, 14	syl2im 38	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑀 → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))))
16	15	3imp 1195	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
17		elnn0z 9384	. . 3 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
18	16, 17	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0)
19		elfz3nn0 10236	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	3ad2ant1 1020	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		elfz2nn0 10233	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
22	8	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
23		resubcl 8335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℝ)
24	22, 9, 23	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℝ)
25	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
26		nn0re 9303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
29		nn0ge0 9319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
31		subge02 8550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀))
32	22, 9, 31	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀))
33	30, 32	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀)
34		simpl3 1004	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ 𝑁)
35	24, 25, 28, 33, 34	letrd 8195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)
36	35	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
37	21, 36	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
38	1, 37	syl5com 29	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
39	38	a1dd 48	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
40	39	3imp 1195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)
41		elfz2nn0 10233	. 2 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
42	18, 20, 40, 41	syl3anbrc 1183	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943  ℝcr 7923  0cc0 7924   ≤ cle 8107   − cmin 8242  ℕ₀cn0 9294  ℤcz 9371  ...cfz 10129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130

This theorem is referenced by: (None)