Theorem difelfzle 10134

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfzle	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10114	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		elfznn0 10114	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		nn0z 9273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nn0z 9273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zsubcl 9294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
8		nn0re 9185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
9		nn0re 9185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		subge0 8432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑀))
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑀))
12	11	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐾))
13	7, 12	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
14	13	exp31 364	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑀 → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))))
15	1, 2, 14	syl2im 38	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑀 → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))))
16	15	3imp 1193	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
17		elnn0z 9266	. . 3 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
18	16, 17	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0)
19		elfz3nn0 10115	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	3ad2ant1 1018	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		elfz2nn0 10112	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
22	8	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
23		resubcl 8221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℝ)
24	22, 9, 23	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℝ)
25	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
26		nn0re 9185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
29		nn0ge0 9201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
31		subge02 8435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀))
32	22, 9, 31	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀))
33	30, 32	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀)
34		simpl3 1002	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ 𝑁)
35	24, 25, 28, 33, 34	letrd 8081	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)
36	35	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
37	21, 36	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
38	1, 37	syl5com 29	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
39	38	a1dd 48	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
40	39	3imp 1193	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)
41		elfz2nn0 10112	. 2 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
42	18, 20, 40, 41	syl3anbrc 1181	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  0cc0 7811   ≤ cle 7993   − cmin 8128  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253  ...cfz 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009

This theorem is referenced by: (None)