Theorem difelfzle 10226

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfzle	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10206	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2		elfznn0 10206	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		nn0z 9363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		nn0z 9363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		zsubcl 9384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
6	3, 4, 5	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ)
8		nn0re 9275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
9		nn0re 9275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		subge0 8519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑀))
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑀))
12	11	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 0 ≤ (𝑀 − 𝐾))
13	7, 12	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
14	13	exp31 364	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑀 → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))))
15	1, 2, 14	syl2im 38	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑀 → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))))
16	15	3imp 1195	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
17		elnn0z 9356	. . 3 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀 − 𝐾)))
18	16, 17	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0)
19		elfz3nn0 10207	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	3ad2ant1 1020	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		elfz2nn0 10204	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
22	8	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
23		resubcl 8307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℝ)
24	22, 9, 23	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ∈ ℝ)
25	22	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
26		nn0re 9275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	27	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
29		nn0ge0 9291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
30	29	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
31		subge02 8522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀))
32	22, 9, 31	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀))
33	30, 32	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑀)
34		simpl3 1004	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ 𝑁)
35	24, 25, 28, 33, 34	letrd 8167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)
36	35	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
37	21, 36	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
38	1, 37	syl5com 29	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
39	38	a1dd 48	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)))
40	39	3imp 1195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁)
41		elfz2nn0 10204	. 2 ⊢ ((𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑀 − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 − 𝐾) ≤ 𝑁))
42	18, 20, 40, 41	syl3anbrc 1183	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896   ≤ cle 8079   − cmin 8214  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by: (None)