Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  difelfzle GIF version

Theorem difelfzle 9606
 Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 9589 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2 elfznn0 9589 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3 nn0z 8831 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
4 nn0z 8831 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
5 zsubcl 8852 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
63, 4, 5syl2anr 285 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
76adantr 271 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ ℤ)
8 nn0re 8743 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
9 nn0re 8743 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
10 subge0 8014 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐾) ↔ 𝐾𝑀))
118, 9, 10syl2anr 285 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐾) ↔ 𝐾𝑀))
1211biimpar 292 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐾))
137, 12jca 301 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑀) → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
1413exp31 357 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀 → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))))
151, 2, 14syl2im 38 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝑀 → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))))
16153imp 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
17 elnn0z 8824 . . 3 ((𝑀𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑀𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑀𝐾)))
1816, 17sylibr 133 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ ℕ0)
19 elfz3nn0 9590 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20193ad2ant1 965 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21 elfz2nn0 9587 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2283ad2ant1 965 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
23 resubcl 7807 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀𝐾) ∈ ℝ)
2422, 9, 23syl2an 284 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ∈ ℝ)
2522adantr 271 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
26 nn0re 8743 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
27263ad2ant2 966 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2827adantr 271 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
29 nn0ge0 8759 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
3029adantl 272 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
31 subge02 8017 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀𝐾) ≤ 𝑀))
3222, 9, 31syl2an 284 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀𝐾) ≤ 𝑀))
3330, 32mpbid 146 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑀)
34 simpl3 949 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀𝑁)
3524, 25, 28, 33, 34letrd 7668 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)
3635ex 114 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
3721, 36sylbi 120 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
381, 37syl5com 29 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
3938a1dd 48 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)))
40393imp 1138 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ≤ 𝑁)
41 elfz2nn0 9587 . 2 ((𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑀𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀𝐾) ≤ 𝑁))
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1128 1 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾) ∈ (0...𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 925   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  ℝcr 7410  0cc0 7411   ≤ cle 7584   − cmin 7714  ℕ0cn0 8734  ℤcz 8811  ...cfz 9485 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator