Theorem pcz 12923

Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcz	|- ( A e. QQ -> ( A e. ZZ <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) ) )

Distinct variable group:   A, p

Proof of Theorem pcz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcge0 12904	. . . 4 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ ) -> 0 <_ ( p pCnt A ) )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( p pCnt A ) )
3	2	ralrimiva 2605	. 2 |- ( A e. ZZ -> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) )
4		elq 9856	. . 3 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
5		nnz 9498	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
6		dvds0 12385	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y || 0 )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y || 0 )
8	7	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> y || 0 )
9		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> x = 0 )
10	8, 9	breqtrrd 4116	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> y || x )
11	10	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
13		simplll 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> x e. ZZ )
14		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> x =/= 0 )
15		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> y e. NN )
16		pcdiv 12893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) /\ y e. NN ) -> ( p pCnt ( x / y ) ) = ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	syl121anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( x / y ) ) = ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) )
18	17	breq2d 4100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> 0 <_ ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) ) )
19		pczcl 12889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( p pCnt x ) e. NN0 )
20	12, 13, 14, 19	syl12anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt x ) e. NN0 )
21	20	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt x ) e. RR )
22	12, 15	pccld 12891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt y ) e. NN0 )
23	22	nn0red 9456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt y ) e. RR )
24	21, 23	subge0d 8715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) <-> ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
25	18, 24	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
26	25	ralbidva 2528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
27		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> x e. ZZ )
28		pc2dvds 12921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
29	5, 27, 28	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
31	26, 30	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> y || x ) )
32	31	biimpd 144	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
33		0zd 9491	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> 0 e. ZZ )
34		zdceq 9555	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID x = 0 )
35	33, 34	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> DECID x = 0 )
36		dcne 2413	. . . . . . . 8 |- (DECID x = 0 <-> ( x = 0 \/ x =/= 0 ) )
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x = 0 \/ x =/= 0 ) )
38	11, 32, 37	mpjaodan 805	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
39		nnne0 9171	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
40		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> x e. ZZ )
41		dvdsval2 12369	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ x e. ZZ ) -> ( y || x <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
42	5, 39, 40, 41	syl2an23an 1335	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y || x <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
43	38, 42	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> ( x / y ) e. ZZ ) )
44		oveq2 6026	. . . . . . . 8 |- ( A = ( x / y ) -> ( p pCnt A ) = ( p pCnt ( x / y ) ) )
45	44	breq2d 4100	. . . . . . 7 |- ( A = ( x / y ) -> ( 0 <_ ( p pCnt A ) <-> 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) ) )
46	45	ralbidv 2532	. . . . . 6 |- ( A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) ) )
47		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. ZZ <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> ( ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) <-> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> ( x / y ) e. ZZ ) ) )
49	43, 48	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) ) )
50	49	rexlimivv 2656	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) )
51	4, 50	sylbi 121	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) )
52	3, 51	impbid2 143	1 |- ( A e. QQ -> ( A e. ZZ <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   E.wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   0cc0 8032   <_ cle 8215   - cmin 8350   / cdiv 8852   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   QQcq 9853   || cdvds 12366   Primecprime 12697   pCnt cpc 12875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-xnn0 9466  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577  df-dvds 12367  df-gcd 12543  df-prm 12698  df-pc 12876

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12936  qexpz  12943