Theorem pcz 13030

Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcz	|- ( A e. QQ -> ( A e. ZZ <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) ) )

Distinct variable group:   A, p

Proof of Theorem pcz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcge0 13011	. . . 4 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ ) -> 0 <_ ( p pCnt A ) )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( p pCnt A ) )
3	2	ralrimiva 2615	. 2 |- ( A e. ZZ -> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) )
4		elq 9954	. . 3 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
5		nnz 9596	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
6		dvds0 12492	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y || 0 )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y || 0 )
8	7	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> y || 0 )
9		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> x = 0 )
10	8, 9	breqtrrd 4137	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> y || x )
11	10	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
13		simplll 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> x e. ZZ )
14		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> x =/= 0 )
15		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> y e. NN )
16		pcdiv 13000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) /\ y e. NN ) -> ( p pCnt ( x / y ) ) = ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	syl121anc 1279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( x / y ) ) = ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) )
18	17	breq2d 4121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> 0 <_ ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) ) )
19		pczcl 12996	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( p pCnt x ) e. NN0 )
20	12, 13, 14, 19	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt x ) e. NN0 )
21	20	nn0red 9554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt x ) e. RR )
22	12, 15	pccld 12998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt y ) e. NN0 )
23	22	nn0red 9554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt y ) e. RR )
24	21, 23	subge0d 8809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) <-> ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
25	18, 24	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
26	25	ralbidva 2538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
27		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> x e. ZZ )
28		pc2dvds 13028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
29	5, 27, 28	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
31	26, 30	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> y || x ) )
32	31	biimpd 144	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
33		0zd 9589	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> 0 e. ZZ )
34		zdceq 9653	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID x = 0 )
35	33, 34	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> DECID x = 0 )
36		dcne 2423	. . . . . . . 8 |- (DECID x = 0 <-> ( x = 0 \/ x =/= 0 ) )
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x = 0 \/ x =/= 0 ) )
38	11, 32, 37	mpjaodan 806	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
39		nnne0 9265	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
40		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> x e. ZZ )
41		dvdsval2 12476	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ x e. ZZ ) -> ( y || x <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
42	5, 39, 40, 41	syl2an23an 1336	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y || x <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
43	38, 42	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> ( x / y ) e. ZZ ) )
44		oveq2 6058	. . . . . . . 8 |- ( A = ( x / y ) -> ( p pCnt A ) = ( p pCnt ( x / y ) ) )
45	44	breq2d 4121	. . . . . . 7 |- ( A = ( x / y ) -> ( 0 <_ ( p pCnt A ) <-> 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) ) )
46	45	ralbidv 2542	. . . . . 6 |- ( A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) ) )
47		eleq1 2295	. . . . . 6 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. ZZ <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> ( ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) <-> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> ( x / y ) e. ZZ ) ) )
49	43, 48	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) ) )
50	49	rexlimivv 2666	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) )
51	4, 50	sylbi 121	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) )
52	3, 51	impbid2 143	1 |- ( A e. QQ -> ( A e. ZZ <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   A.wral 2520   E.wrex 2521   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   0cc0 8127   <_ cle 8309   - cmin 8444   / cdiv 8946   NNcn 9237   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   QQcq 9951   || cdvds 12473   Primecprime 12804   pCnt cpc 12982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-xnn0 9564  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-gcd 12650  df-prm 12805  df-pc 12983

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  13043  qexpz  13050