Theorem pcz 12473

Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcz	|- ( A e. QQ -> ( A e. ZZ <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) ) )

Distinct variable group:   A, p

Proof of Theorem pcz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcge0 12454	. . . 4 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ ) -> 0 <_ ( p pCnt A ) )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( p pCnt A ) )
3	2	ralrimiva 2567	. 2 |- ( A e. ZZ -> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) )
4		elq 9690	. . 3 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
5		nnz 9339	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
6		dvds0 11952	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y || 0 )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y || 0 )
8	7	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> y || 0 )
9		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> x = 0 )
10	8, 9	breqtrrd 4058	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> y || x )
11	10	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
13		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> x e. ZZ )
14		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> x =/= 0 )
15		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> y e. NN )
16		pcdiv 12443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) /\ y e. NN ) -> ( p pCnt ( x / y ) ) = ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	syl121anc 1254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( x / y ) ) = ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) )
18	17	breq2d 4042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> 0 <_ ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) ) )
19		pczcl 12439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( p pCnt x ) e. NN0 )
20	12, 13, 14, 19	syl12anc 1247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt x ) e. NN0 )
21	20	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt x ) e. RR )
22	12, 15	pccld 12441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt y ) e. NN0 )
23	22	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt y ) e. RR )
24	21, 23	subge0d 8556	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) <-> ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
25	18, 24	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
26	25	ralbidva 2490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
27		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> x e. ZZ )
28		pc2dvds 12471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
29	5, 27, 28	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
31	26, 30	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> y || x ) )
32	31	biimpd 144	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
33		0zd 9332	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> 0 e. ZZ )
34		zdceq 9395	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID x = 0 )
35	33, 34	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> DECID x = 0 )
36		dcne 2375	. . . . . . . 8 |- (DECID x = 0 <-> ( x = 0 \/ x =/= 0 ) )
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x = 0 \/ x =/= 0 ) )
38	11, 32, 37	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
39		nnne0 9012	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
40		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> x e. ZZ )
41		dvdsval2 11936	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ x e. ZZ ) -> ( y || x <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
42	5, 39, 40, 41	syl2an23an 1310	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y || x <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
43	38, 42	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> ( x / y ) e. ZZ ) )
44		oveq2 5927	. . . . . . . 8 |- ( A = ( x / y ) -> ( p pCnt A ) = ( p pCnt ( x / y ) ) )
45	44	breq2d 4042	. . . . . . 7 |- ( A = ( x / y ) -> ( 0 <_ ( p pCnt A ) <-> 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) ) )
46	45	ralbidv 2494	. . . . . 6 |- ( A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) ) )
47		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. ZZ <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> ( ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) <-> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> ( x / y ) e. ZZ ) ) )
49	43, 48	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) ) )
50	49	rexlimivv 2617	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) )
51	4, 50	sylbi 121	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) )
52	3, 51	impbid2 143	1 |- ( A e. QQ -> ( A e. ZZ <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   0cc0 7874   <_ cle 8057   - cmin 8192   / cdiv 8693   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   QQcq 9687   || cdvds 11933   Primecprime 12248   pCnt cpc 12425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-1o 6471  df-2o 6472  df-er 6589  df-en 6797  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-xnn0 9307  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-dvds 11934  df-gcd 12083  df-prm 12249  df-pc 12426

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12486  qexpz  12493