Theorem pcz 12985

Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcz	|- ( A e. QQ -> ( A e. ZZ <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) ) )

Distinct variable group:   A, p

Proof of Theorem pcz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcge0 12966	. . . 4 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ ) -> 0 <_ ( p pCnt A ) )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( p pCnt A ) )
3	2	ralrimiva 2606	. 2 |- ( A e. ZZ -> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) )
4		elq 9917	. . 3 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
5		nnz 9559	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
6		dvds0 12447	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y || 0 )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y || 0 )
8	7	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> y || 0 )
9		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> x = 0 )
10	8, 9	breqtrrd 4121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> y || x )
11	10	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
13		simplll 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> x e. ZZ )
14		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> x =/= 0 )
15		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> y e. NN )
16		pcdiv 12955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) /\ y e. NN ) -> ( p pCnt ( x / y ) ) = ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	syl121anc 1279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( x / y ) ) = ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) )
18	17	breq2d 4105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> 0 <_ ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) ) )
19		pczcl 12951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( p pCnt x ) e. NN0 )
20	12, 13, 14, 19	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt x ) e. NN0 )
21	20	nn0red 9517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt x ) e. RR )
22	12, 15	pccld 12953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt y ) e. NN0 )
23	22	nn0red 9517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt y ) e. RR )
24	21, 23	subge0d 8774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) <-> ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
25	18, 24	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
26	25	ralbidva 2529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
27		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> x e. ZZ )
28		pc2dvds 12983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
29	5, 27, 28	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
31	26, 30	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> y || x ) )
32	31	biimpd 144	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
33		0zd 9552	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> 0 e. ZZ )
34		zdceq 9616	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID x = 0 )
35	33, 34	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> DECID x = 0 )
36		dcne 2414	. . . . . . . 8 |- (DECID x = 0 <-> ( x = 0 \/ x =/= 0 ) )
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x = 0 \/ x =/= 0 ) )
38	11, 32, 37	mpjaodan 806	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
39		nnne0 9230	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
40		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> x e. ZZ )
41		dvdsval2 12431	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ x e. ZZ ) -> ( y || x <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
42	5, 39, 40, 41	syl2an23an 1336	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y || x <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
43	38, 42	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> ( x / y ) e. ZZ ) )
44		oveq2 6036	. . . . . . . 8 |- ( A = ( x / y ) -> ( p pCnt A ) = ( p pCnt ( x / y ) ) )
45	44	breq2d 4105	. . . . . . 7 |- ( A = ( x / y ) -> ( 0 <_ ( p pCnt A ) <-> 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) ) )
46	45	ralbidv 2533	. . . . . 6 |- ( A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) ) )
47		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. ZZ <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> ( ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) <-> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> ( x / y ) e. ZZ ) ) )
49	43, 48	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) ) )
50	49	rexlimivv 2657	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) )
51	4, 50	sylbi 121	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) )
52	3, 51	impbid2 143	1 |- ( A e. QQ -> ( A e. ZZ <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   A.wral 2511   E.wrex 2512   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   0cc0 8092   <_ cle 8274   - cmin 8409   / cdiv 8911   NNcn 9202   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   QQcq 9914   || cdvds 12428   Primecprime 12759   pCnt cpc 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-xnn0 9527  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-dvds 12429  df-gcd 12605  df-prm 12760  df-pc 12938

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12998  qexpz  13005