Theorem pcz 13140

Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcz	|- ( A e. QQ -> ( A e. ZZ <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) ) )

Distinct variable group:   A, p

Proof of Theorem pcz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcge0 13121	. . . 4 |- ( ( p e. Prime /\ A e. ZZ ) -> 0 <_ ( p pCnt A ) )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. Prime ) -> 0 <_ ( p pCnt A ) )
3	2	ralrimiva 2623	. 2 |- ( A e. ZZ -> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) )
4		elq 10038	. . 3 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
5		nnz 9674	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
6		dvds0 12598	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> y || 0 )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y || 0 )
8	7	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> y || 0 )
9		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> x = 0 )
10	8, 9	breqtrrd 4159	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> y || x )
11	10	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x = 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
12		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
13		simplll 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> x e. ZZ )
14		simplr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> x =/= 0 )
15		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> y e. NN )
16		pcdiv 13110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) /\ y e. NN ) -> ( p pCnt ( x / y ) ) = ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) )
17	12, 13, 14, 15, 16	syl121anc 1283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt ( x / y ) ) = ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) )
18	17	breq2d 4143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> 0 <_ ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) ) )
19		pczcl 13106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ x =/= 0 ) ) -> ( p pCnt x ) e. NN0 )
20	12, 13, 14, 19	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt x ) e. NN0 )
21	20	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt x ) e. RR )
22	12, 15	pccld 13108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt y ) e. NN0 )
23	22	nn0red 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( p pCnt y ) e. RR )
24	21, 23	subge0d 8870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( ( p pCnt x ) - ( p pCnt y ) ) <-> ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
25	18, 24	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) /\ p e. Prime ) -> ( 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
26	25	ralbidva 2546	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
27		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> x e. ZZ )
28		pc2dvds 13138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
29	5, 27, 28	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( y || x <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) <_ ( p pCnt x ) ) )
31	26, 30	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) <-> y || x ) )
32	31	biimpd 144	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ x =/= 0 ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
33		0zd 9667	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> 0 e. ZZ )
34		zdceq 9731	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID x = 0 )
35	33, 34	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> DECID x = 0 )
36		dcne 2431	. . . . . . . 8 |- (DECID x = 0 <-> ( x = 0 \/ x =/= 0 ) )
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( x = 0 \/ x =/= 0 ) )
38	11, 32, 37	mpjaodan 810	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> y || x ) )
39		nnne0 9341	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> y =/= 0 )
40		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> x e. ZZ )
41		dvdsval2 12582	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ZZ /\ y =/= 0 /\ x e. ZZ ) -> ( y || x <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
42	5, 39, 40, 41	syl2an23an 1340	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( y || x <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
43	38, 42	sylibd 149	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> ( x / y ) e. ZZ ) )
44		oveq2 6096	. . . . . . . 8 |- ( A = ( x / y ) -> ( p pCnt A ) = ( p pCnt ( x / y ) ) )
45	44	breq2d 4143	. . . . . . 7 |- ( A = ( x / y ) -> ( 0 <_ ( p pCnt A ) <-> 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) ) )
46	45	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) ) )
47		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( A = ( x / y ) -> ( A e. ZZ <-> ( x / y ) e. ZZ ) )
48	46, 47	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( A = ( x / y ) -> ( ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) <-> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt ( x / y ) ) -> ( x / y ) e. ZZ ) ) )
49	43, 48	syl5ibrcom 157	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) ) )
50	49	rexlimivv 2674	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) )
51	4, 50	sylbi 121	. 2 |- ( A e. QQ -> ( A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) -> A e. ZZ ) )
52	3, 51	impbid2 143	1 |- ( A e. QQ -> ( A e. ZZ <-> A. p e. Prime 0 <_ ( p pCnt A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   0cc0 8185   <_ cle 8367   - cmin 8504   / cdiv 9010   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   QQcq 10035   || cdvds 12579   Primecprime 12910   pCnt cpc 13092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-xnn0 9642  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-gcd 12756  df-prm 12911  df-pc 13093

This theorem is used by:  pcmptdvds  13153  qexpz  13160