Theorem elfzle1 10164

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10158	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 9675	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956   ≤ cle 8123  ℤ_≥cuz 9663  ...cfz 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-neg 8261  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10172  fzdisj  10189  elfznn  10191  fznatpl1  10213  fznn0sub2  10265  fz0fzdiffz0  10267  difelfznle  10272  iseqf1olemqcl  10661  iseqf1olemnab  10663  iseqf1olemab  10664  seq3f1olemqsumkj  10673  seq3f1olemqsumk  10674  seq3f1olemqsum  10675  seqf1oglem1  10681  seqf1oglem2  10682  seqfeq4g  10693  bcval4  10914  seq3coll  11004  fsum0diaglem  11821  cvgratnnlemabsle  11908  cvgratnnlemrate  11911  mertenslemi1  11916  fprodntrivap  11965  prmdc  12522  hashdvds  12613  prmdiveq  12628  4sqlem11  12794  4sqlem12  12795  gsumfzfsumlemm  14419  lgsdilem2  15583  lgsquadlem1  15624  inffz  16146