Theorem elfzle1 10148

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10142	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 9659	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943   ≤ cle 8107  ℤ_≥cuz 9647  ...cfz 10129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-neg 8245  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10156  fzdisj  10173  elfznn  10175  fznatpl1  10197  fznn0sub2  10249  fz0fzdiffz0  10251  difelfznle  10256  iseqf1olemqcl  10642  iseqf1olemnab  10644  iseqf1olemab  10645  seq3f1olemqsumkj  10654  seq3f1olemqsumk  10655  seq3f1olemqsum  10656  seqf1oglem1  10662  seqf1oglem2  10663  seqfeq4g  10674  bcval4  10895  seq3coll  10985  fsum0diaglem  11722  cvgratnnlemabsle  11809  cvgratnnlemrate  11812  mertenslemi1  11817  fprodntrivap  11866  prmdc  12423  hashdvds  12514  prmdiveq  12529  4sqlem11  12695  4sqlem12  12696  gsumfzfsumlemm  14320  lgsdilem2  15484  lgsquadlem1  15525  inffz  15973