Theorem elfzle1 10219

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10213	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 9730	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000   ≤ cle 8178  ℤ_≥cuz 9718  ...cfz 10200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-neg 8316  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10227  fzdisj  10244  elfznn  10246  fznatpl1  10268  fznn0sub2  10320  fz0fzdiffz0  10322  difelfznle  10327  iseqf1olemqcl  10716  iseqf1olemnab  10718  iseqf1olemab  10719  seq3f1olemqsumkj  10728  seq3f1olemqsumk  10729  seq3f1olemqsum  10730  seqf1oglem1  10736  seqf1oglem2  10737  seqfeq4g  10748  bcval4  10969  seq3coll  11059  pfxccatin12  11260  fsum0diaglem  11946  cvgratnnlemabsle  12033  cvgratnnlemrate  12036  mertenslemi1  12041  fprodntrivap  12090  prmdc  12647  hashdvds  12738  prmdiveq  12753  4sqlem11  12919  4sqlem12  12920  gsumfzfsumlemm  14545  lgsdilem2  15709  lgsquadlem1  15750  inffz  16399