Theorem elfzle1 10413

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10406	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 9916	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6078   ≤ cle 8354  ℤ_≥cuz 9903  ...cfz 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-neg 8493  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10421  fzdisj  10438  elfznn  10441  fznatpl1  10464  fznn0sub2  10516  fz0fzdiffz0  10518  difelfznle  10523  iseqf1olemqcl  10917  iseqf1olemnab  10919  iseqf1olemab  10920  seq3f1olemqsumkj  10929  seq3f1olemqsumk  10930  seq3f1olemqsum  10931  seqf1oglem1  10937  seqf1oglem2  10938  seqfeq4g  10949  bcval4  11171  seq3coll  11275  pfxccatin12  11486  fsum0diaglem  12188  cvgratnnlemabsle  12275  cvgratnnlemrate  12278  mertenslemi1  12283  fprodntrivap  12332  prmdc  12889  hashdvds  12980  prmdiveq  12995  4sqlem11  13161  4sqlem12  13162  ballotfilem2  13209  ballotfilemsdom  13236  ballotfilemsima  13240  ballotfilemfrcn0  13254  ballotfilem1ri  13259  gzsumshift  14129  lgsdilem2  16072  lgsquadlem1  16113  inffz  17030