Theorem elfzle1 10307

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10301	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 9812	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ≤ cle 8257  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-neg 8395  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10315  fzdisj  10332  elfznn  10334  fznatpl1  10356  fznn0sub2  10408  fz0fzdiffz0  10410  difelfznle  10415  iseqf1olemqcl  10807  iseqf1olemnab  10809  iseqf1olemab  10810  seq3f1olemqsumkj  10819  seq3f1olemqsumk  10820  seq3f1olemqsum  10821  seqf1oglem1  10827  seqf1oglem2  10828  seqfeq4g  10839  bcval4  11060  seq3coll  11152  pfxccatin12  11363  fsum0diaglem  12064  cvgratnnlemabsle  12151  cvgratnnlemrate  12154  mertenslemi1  12159  fprodntrivap  12208  prmdc  12765  hashdvds  12856  prmdiveq  12871  4sqlem11  13037  4sqlem12  13038  gsumfzfsumlemm  14666  lgsdilem2  15838  lgsquadlem1  15879  inffz  16788  gsumgfsumlem  16795