Theorem elfzle1 10441

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10434	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 9943	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ≤ cle 8361  ℤ_≥cuz 9930  ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422

This theorem is used by:  elfz1eq  10449  fzdisj  10467  elfznn  10470  fznatpl1  10493  fznn0sub2  10545  fz0fzdiffz0  10547  difelfznle  10552  iseqf1olemqcl  10949  iseqf1olemnab  10951  iseqf1olemab  10952  seq3f1olemqsumkj  10961  seq3f1olemqsumk  10962  seq3f1olemqsum  10963  seqf1oglem1  10969  seqf1oglem2  10970  seqfeq4g  10981  bcval4  11204  seq3coll  11308  pfxccatin12  11519  fsum0diaglem  12223  cvgratnnlemabsle  12310  cvgratnnlemrate  12313  mertenslemi1  12318  fprodntrivap  12367  prmdc  12924  hashdvds  13019  prmdiveq  13034  4sqlem11  13200  4sqlem12  13201  ballotfilem2  13277  ballotfilemsdom  13304  ballotfilemsima  13308  ballotfilemfrcn0  13322  ballotfilem1ri  13327  gzsumshift  14198  birthdaylem3  16146  ppiqfi  16158  ppiqub  16194  lgsdilem2  16253  lgsquadlem1  16294  inffz  17220