Theorem elfzle1 10179

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10173	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 9690	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4054  ‘cfv 5285  (class class class)co 5962   ≤ cle 8138  ℤ_≥cuz 9678  ...cfz 10160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-neg 8276  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10187  fzdisj  10204  elfznn  10206  fznatpl1  10228  fznn0sub2  10280  fz0fzdiffz0  10282  difelfznle  10287  iseqf1olemqcl  10676  iseqf1olemnab  10678  iseqf1olemab  10679  seq3f1olemqsumkj  10688  seq3f1olemqsumk  10689  seq3f1olemqsum  10690  seqf1oglem1  10696  seqf1oglem2  10697  seqfeq4g  10708  bcval4  10929  seq3coll  11019  fsum0diaglem  11836  cvgratnnlemabsle  11923  cvgratnnlemrate  11926  mertenslemi1  11931  fprodntrivap  11980  prmdc  12537  hashdvds  12628  prmdiveq  12643  4sqlem11  12809  4sqlem12  12810  gsumfzfsumlemm  14434  lgsdilem2  15598  lgsquadlem1  15639  inffz  16183