Theorem elfzle1 10261

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10255	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 9767	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017   ≤ cle 8214  ℤ_≥cuz 9754  ...cfz 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-neg 8352  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10269  fzdisj  10286  elfznn  10288  fznatpl1  10310  fznn0sub2  10362  fz0fzdiffz0  10364  difelfznle  10369  iseqf1olemqcl  10760  iseqf1olemnab  10762  iseqf1olemab  10763  seq3f1olemqsumkj  10772  seq3f1olemqsumk  10773  seq3f1olemqsum  10774  seqf1oglem1  10780  seqf1oglem2  10781  seqfeq4g  10792  bcval4  11013  seq3coll  11105  pfxccatin12  11313  fsum0diaglem  12000  cvgratnnlemabsle  12087  cvgratnnlemrate  12090  mertenslemi1  12095  fprodntrivap  12144  prmdc  12701  hashdvds  12792  prmdiveq  12807  4sqlem11  12973  4sqlem12  12974  gsumfzfsumlemm  14600  lgsdilem2  15764  lgsquadlem1  15805  inffz  16676  gsumgfsumlem  16683