Theorem elfzle1 10447

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10440	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 9949	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ≤ cle 8367  ℤ_≥cuz 9936  ...cfz 10427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-neg 8507  df-z 9654  df-uz 9937  df-fz 10428

This theorem is used by:  elfz1eq  10455  fzdisj  10473  elfznn  10476  fznatpl1  10499  fznn0sub2  10551  fz0fzdiffz0  10553  difelfznle  10558  iseqf1olemqcl  10956  iseqf1olemnab  10958  iseqf1olemab  10959  seq3f1olemqsumkj  10968  seq3f1olemqsumk  10969  seq3f1olemqsum  10970  seqf1oglem1  10976  seqf1oglem2  10977  seqfeq4g  10988  bcval4  11211  seq3coll  11315  pfxccatin12  11526  fsum0diaglem  12231  cvgratnnlemabsle  12318  cvgratnnlemrate  12321  mertenslemi1  12326  fprodntrivap  12375  prmdc  12932  hashdvds  13027  prmdiveq  13042  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  ballotfilem2  13285  ballotfilemsdom  13312  ballotfilemsima  13316  ballotfilemfrcn0  13330  ballotfilem1ri  13335  gzsumshift  14238  birthdaylem3  16244  ppiqfi  16259  ppiqub  16310  lgsdilem2  16377  lgsquadlem1  16418  inffz  17346