Theorem elfzle1 10262

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10256	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 9768	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ≤ cle 8215  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10270  fzdisj  10287  elfznn  10289  fznatpl1  10311  fznn0sub2  10363  fz0fzdiffz0  10365  difelfznle  10370  iseqf1olemqcl  10762  iseqf1olemnab  10764  iseqf1olemab  10765  seq3f1olemqsumkj  10774  seq3f1olemqsumk  10775  seq3f1olemqsum  10776  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  seqfeq4g  10794  bcval4  11015  seq3coll  11107  pfxccatin12  11318  fsum0diaglem  12019  cvgratnnlemabsle  12106  cvgratnnlemrate  12109  mertenslemi1  12114  fprodntrivap  12163  prmdc  12720  hashdvds  12811  prmdiveq  12826  4sqlem11  12992  4sqlem12  12993  gsumfzfsumlemm  14620  lgsdilem2  15784  lgsquadlem1  15825  inffz  16728  gsumgfsumlem  16735