Theorem fprodntrivap 12163

Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodntriv.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fprodntriv.2	|- ( ph -> N e. Z )
fprodntriv.3	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodntrivap	|- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )

Distinct variable groups:   A, k, n, y   B, n, y   n, N, y   k, Z, n, y   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( y, k)   B( k)   M( y, k, n)   N( k)

Proof of Theorem fprodntrivap

Dummy variables m p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodntriv.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. Z )
2		fprodntriv.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	eleqtrdi 2324	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		peano2uz 9817	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
6	5, 2	eleqtrrdi 2325	. 2 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. Z )
7		1ap0 8770	. . 3 |- 1 # 0
8		eqid 2231	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( N + 1 ) )
9		eluzelz 9765	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
10	9, 2	eleq2s 2326	. . . . . 6 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
12	11	peano2zd 9605	. . . 4 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
13		seqex 10712	. . . . 5 |- seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) e. _V
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) e. _V )
15		1cnd 8195	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
16		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
17		fprodntriv.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> A C_ ( M ... N ) )
19	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N e. ZZ )
20	19	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N e. RR )
21	19	peano2zd 9605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
22	21	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
23		elfzelz 10260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> m e. ZZ )
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. ZZ )
25	24	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. RR )
26	20	ltp1d 9110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N < ( N + 1 ) )
27		elfzle1 10262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> ( N + 1 ) <_ m )
28	27	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) <_ m )
29	20, 22, 25, 26, 28	ltletrd 8603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N < m )
30		zltnle 9525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( N < m <-> -. m <_ N ) )
31	19, 24, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N < m <-> -. m <_ N ) )
32	29, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. m <_ N )
33	32	intnand 938	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. ( M <_ m /\ m <_ N ) )
34	33	intnand 938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( M <_ m /\ m <_ N ) ) )
35		elfz2 10250	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( M <_ m /\ m <_ N ) ) )
36	34, 35	sylnibr 683	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. m e. ( M ... N ) )
37	18, 36	ssneldd 3230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. m e. A )
38	37	iffalsed 3615	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) = 1 )
39	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) e. Z )
40		elfzuz 10256	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
42	2	uztrn2 9774	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> m e. Z )
43	39, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. Z )
44		ax-1cn 8125	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
45	38, 44	eqeltrdi 2322	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC )
46		nfcv 2374	. . . . . . . . 9 |- F/_ k m
47		nfv 1576	. . . . . . . . . 10 |- F/ k m e. A
48		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ B
49		nfcv 2374	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k 1
50	47, 48, 49	nfif 3634	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 )
51		eleq1w 2292	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
52		csbeq1a 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> B = [_ m / k ]_ B )
53	51, 52	ifbieq1d 3628	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
54		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
55	46, 50, 53, 54	fvmptf 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Z /\ if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
56	43, 45, 55	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
57		1ex 8174	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
58	57	fvconst2 5870	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` m ) = 1 )
59	41, 58	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` m ) = 1 )
60	38, 56, 59	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` m ) = ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` m ) )
61	6	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. Z )
62		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
63	2	uztrn2 9774	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. Z /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> p e. Z )
64	61, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> p e. Z )
65	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> A C_ ( M ... N ) )
66	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
67	66	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N e. RR )
68		peano2re 8315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
70		eluzelz 9765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> p e. ZZ )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> p e. ZZ )
72	71	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> p e. RR )
73	67	ltp1d 9110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N < ( N + 1 ) )
74		eluzle 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( N + 1 ) <_ p )
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) <_ p )
76	67, 69, 72, 73, 75	ltletrd 8603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N < p )
77		zltnle 9525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
78	66, 71, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
79	76, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. p <_ N )
80	79	intnand 938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. ( M <_ p /\ p <_ N ) )
81	80	intnand 938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ p e. ZZ ) /\ ( M <_ p /\ p <_ N ) ) )
82		elfz2 10250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ p e. ZZ ) /\ ( M <_ p /\ p <_ N ) ) )
83	81, 82	sylnibr 683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. p e. ( M ... N ) )
84	65, 83	ssneldd 3230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. p e. A )
85	84	iffalsed 3615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) = 1 )
86	85, 44	eqeltrdi 2322	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) e. CC )
87		nfcv 2374	. . . . . . . . 9 |- F/_ k p
88		nfv 1576	. . . . . . . . . 10 |- F/ k p e. A
89		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ p / k ]_ B
90	88, 89, 49	nfif 3634	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 )
91		eleq1w 2292	. . . . . . . . . 10 |- ( k = p -> ( k e. A <-> p e. A ) )
92		csbeq1a 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( k = p -> B = [_ p / k ]_ B )
93	91, 92	ifbieq1d 3628	. . . . . . . . 9 |- ( k = p -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) )
94	87, 90, 93, 54	fvmptf 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Z /\ if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` p ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) )
95	64, 86, 94	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` p ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) )
96	95, 86	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` p ) e. CC )
97	57	fvconst2 5870	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` p ) = 1 )
98	97	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` p ) = 1 )
99	98, 44	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` p ) e. CC )
100		mulcl 8159	. . . . . . 7 |- ( ( p e. CC /\ q e. CC ) -> ( p x. q ) e. CC )
101	100	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ ( p e. CC /\ q e. CC ) ) -> ( p x. q ) e. CC )
102	16, 60, 96, 99, 101	seq3fveq 10742	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` n ) = ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ) ` n ) )
103	8	prodf1 12121	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ) ` n ) = 1 )
104	103	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ) ` n ) = 1 )
105	102, 104	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` n ) = 1 )
106	8, 12, 14, 15, 105	climconst 11868	. . 3 |- ( ph -> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 )
107		breq1 4091	. . . . 5 |- ( y = 1 -> ( y # 0 <-> 1 # 0 ) )
108		breq2 4092	. . . . 5 |- ( y = 1 -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 ) )
109	107, 108	anbi12d 473	. . . 4 |- ( y = 1 -> ( ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( 1 # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 ) ) )
110	57, 109	spcev 2901	. . 3 |- ( ( 1 # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 ) -> E. y ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
111	7, 106, 110	sylancr 414	. 2 |- ( ph -> E. y ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
112		seqeq1 10713	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) )
113	112	breq1d 4098	. . . . 5 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
114	113	anbi2d 464	. . . 4 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
115	114	exbidv 1873	. . 3 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
116	115	rspcev 2910	. 2 |- ( ( ( N + 1 ) e. Z /\ E. y ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
117	6, 111, 116	syl2anc 411	1 |- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   [_csb 3127   C_ wss 3200   ifcif 3605   {csn 3669   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   < clt 8214   <_ cle 8215   # cap 8761   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243   seqcseq 10710   ~~> cli 11856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11420  df-rsqrt 11576  df-abs 11577  df-clim 11857

This theorem is referenced by:  fprodssdc  12169