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Theorem fprodntrivap 11476
Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodntriv.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fprodntriv.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
fprodntriv.3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
Assertion
Ref Expression
fprodntrivap  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, n, y    n, N, y    k, Z, n, y    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    B( k)    M( y, k, n)    N( k)

Proof of Theorem fprodntrivap
Dummy variables  m  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodntriv.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
2 fprodntriv.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleqtrdi 2250 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 peano2uz 9489 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
65, 2eleqtrrdi 2251 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
7 1ap0 8460 . . 3  |-  1 #  0
8 eqid 2157 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )
9 eluzelz 9443 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
109, 2eleq2s 2252 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  N  e.  ZZ )
111, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1211peano2zd 9284 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
13 seqex 10341 . . . . 5  |-  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  e.  _V
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  e.  _V )
15 1cnd 7889 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
16 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
17 fprodntriv.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
1817ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  A  C_  ( M ... N
) )
1911ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  e.  ZZ )
2019zred 9281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  e.  RR )
2119peano2zd 9284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
2221zred 9281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
23 elfzelz 9923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ( N  +  1 ) ... n )  ->  m  e.  ZZ )
2423adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  ZZ )
2524zred 9281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  RR )
2620ltp1d 8796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
27 elfzle1 9924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ( N  +  1 ) ... n )  ->  ( N  +  1 )  <_  m )
2827adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  <_  m )
2920, 22, 25, 26, 28ltletrd 8293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  <  m )
30 zltnle 9208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  <  m  <->  -.  m  <_  N )
)
3119, 24, 30syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  <  m  <->  -.  m  <_  N ) )
3229, 31mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  m  <_  N )
3332intnand 917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  ( M  <_  m  /\  m  <_  N ) )
3433intnand 917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  m  /\  m  <_  N ) ) )
35 elfz2 9914 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  m  /\  m  <_  N ) ) )
3634, 35sylnibr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  m  e.  ( M ... N ) )
3718, 36ssneldd 3131 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  m  e.  A )
3837iffalsed 3515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  =  1 )
396ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
40 elfzuz 9919 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ( N  +  1 ) ... n )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
4140adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
422uztrn2 9451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  ->  m  e.  Z )
4339, 41, 42syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  Z )
44 ax-1cn 7820 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
4538, 44eqeltrdi 2248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
46 nfcv 2299 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
m
47 nfv 1508 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  m  e.  A
48 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
49 nfcv 2299 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
1
5047, 48, 49nfif 3533 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )
51 eleq1w 2218 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
52 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
5351, 52ifbieq1d 3527 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
54 eqid 2157 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
5546, 50, 53, 54fvmptf 5559 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Z  /\  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
5643, 45, 55syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
57 1ex 7868 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
5857fvconst2 5682 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( (
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  m )  =  1 )
5941, 58syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  (
( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  m
)  =  1 )
6038, 56, 593eqtr4d 2200 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) `  m )  =  ( ( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  m
) )
616ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
62 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
632uztrn2 9451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  Z  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  ->  p  e.  Z )
6461, 62, 63syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  p  e.  Z )
6517ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  A  C_  ( M ... N ) )
6611ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
6766zred 9281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
68 peano2re 8006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
70 eluzelz 9443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  p  e.  ZZ )
7170adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  p  e.  ZZ )
7271zred 9281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  p  e.  RR )
7367ltp1d 8796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
74 eluzle 9446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  p )
7574adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  p )
7667, 69, 72, 73, 75ltletrd 8293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  <  p )
77 zltnle 9208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( N  <  p  <->  -.  p  <_  N )
)
7866, 71, 77syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  <  p  <->  -.  p  <_  N ) )
7976, 78mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  p  <_  N )
8079intnand 917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  ( M  <_  p  /\  p  <_  N ) )
8180intnand 917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  p  /\  p  <_  N ) ) )
82 elfz2 9914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  p  /\  p  <_  N ) ) )
8381, 82sylnibr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  p  e.  ( M ... N
) )
8465, 83ssneldd 3131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  p  e.  A )
8584iffalsed 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  if (
p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 )  =  1 )
8685, 44eqeltrdi 2248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  if (
p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
87 nfcv 2299 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
p
88 nfv 1508 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  p  e.  A
89 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ p  /  k ]_ B
9088, 89, 49nfif 3533 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 )
91 eleq1w 2218 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  p  ->  (
k  e.  A  <->  p  e.  A ) )
92 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  p  ->  B  =  [_ p  /  k ]_ B )
9391, 92ifbieq1d 3527 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  p  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 ) )
9487, 90, 93, 54fvmptf 5559 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Z  /\  if ( p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 p )  =  if ( p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 ) )
9564, 86, 94syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  p )  =  if ( p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 ) )
9695, 86eqeltrd 2234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  p )  e.  CC )
9757fvconst2 5682 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( (
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  p )  =  1 )
9897adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  p )  =  1 )
9998, 44eqeltrdi 2248 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  p )  e.  CC )
100 mulcl 7854 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  CC  /\  q  e.  CC )  ->  ( p  x.  q
)  e.  CC )
101100adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( p  e.  CC  /\  q  e.  CC ) )  -> 
( p  x.  q
)  e.  CC )
10216, 60, 96, 99, 101seq3fveq 10365 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq ( N  +  1
) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) ) `
 n )  =  (  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  X. 
{ 1 } ) ) `  n ) )
1038prodf1 11434 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  (  seq ( N  +  1
) (  x.  , 
( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) ) `  n )  =  1 )
104103adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq ( N  +  1
) (  x.  , 
( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) ) `  n )  =  1 )
105102, 104eqtrd 2190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq ( N  +  1
) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) ) `
 n )  =  1 )
1068, 12, 14, 15, 105climconst 11182 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  1 )
107 breq1 3968 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
y #  0  <->  1 #  0
) )
108 breq2 3969 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (  seq ( N  +  1 ) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  1 ) )
109107, 108anbi12d 465 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  (
( y #  0  /\ 
seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( 1 #  0  /\  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  1 ) ) )
11057, 109spcev 2807 . . 3  |-  ( ( 1 #  0  /\  seq ( N  +  1
) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  ~~>  1 )  ->  E. y
( y #  0  /\ 
seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
1117, 106, 110sylancr 411 . 2  |-  ( ph  ->  E. y ( y #  0  /\  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
112 seqeq1 10342 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  seq n (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  =  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
113112breq1d 3975 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (  seq n (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
114113anbi2d 460 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( y #  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( y #  0  /\  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
115114exbidv 1805 . . 3  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y #  0  /\  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
116115rspcev 2816 . 2  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  Z  /\  E. y ( y #  0  /\  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )  ->  E. n  e.  Z  E. y
( y #  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
1176, 111, 116syl2anc 409 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   [_csb 3031    C_ wss 3102   ifcif 3505   {csn 3560   class class class wbr 3965    |-> cmpt 4025    X. cxp 4583   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   CCcc 7725   RRcr 7726   0cc0 7727   1c1 7728    + caddc 7730    x. cmul 7732    < clt 7907    <_ cle 7908   # cap 8451   ZZcz 9162   ZZ>=cuz 9434   ...cfz 9907    seqcseq 10339    ~~> cli 11170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-rp 9556  df-fz 9908  df-fzo 10037  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-cj 10737  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-clim 11171
This theorem is referenced by:  fprodssdc  11482
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