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Theorem fprodntrivap 11547
Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodntriv.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fprodntriv.2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
fprodntriv.3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
Assertion
Ref Expression
fprodntrivap  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
Distinct variable groups:    A, k, n, y    B, n, y    n, N, y    k, Z, n, y    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    B( k)    M( y, k, n)    N( k)

Proof of Theorem fprodntrivap
Dummy variables  m  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodntriv.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
2 fprodntriv.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleqtrdi 2263 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 peano2uz 9542 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
65, 2eleqtrrdi 2264 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
7 1ap0 8509 . . 3  |-  1 #  0
8 eqid 2170 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )
9 eluzelz 9496 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
109, 2eleq2s 2265 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Z  ->  N  e.  ZZ )
111, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1211peano2zd 9337 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
13 seqex 10403 . . . . 5  |-  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  e.  _V
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  e.  _V )
15 1cnd 7936 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
16 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
17 fprodntriv.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... N ) )
1817ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  A  C_  ( M ... N
) )
1911ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  e.  ZZ )
2019zred 9334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  e.  RR )
2119peano2zd 9337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
2221zred 9334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
23 elfzelz 9981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ( N  +  1 ) ... n )  ->  m  e.  ZZ )
2423adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  ZZ )
2524zred 9334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  RR )
2620ltp1d 8846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
27 elfzle1 9983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( ( N  +  1 ) ... n )  ->  ( N  +  1 )  <_  m )
2827adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  <_  m )
2920, 22, 25, 26, 28ltletrd 8342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  N  <  m )
30 zltnle 9258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  <  m  <->  -.  m  <_  N )
)
3119, 24, 30syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  <  m  <->  -.  m  <_  N ) )
3229, 31mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  m  <_  N )
3332intnand 926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  ( M  <_  m  /\  m  <_  N ) )
3433intnand 926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  m  /\  m  <_  N ) ) )
35 elfz2 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  m  /\  m  <_  N ) ) )
3634, 35sylnibr 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  m  e.  ( M ... N ) )
3718, 36ssneldd 3150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  -.  m  e.  A )
3837iffalsed 3536 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  =  1 )
396ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
40 elfzuz 9977 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ( N  +  1 ) ... n )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
4140adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
422uztrn2 9504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  Z  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  ->  m  e.  Z )
4339, 41, 42syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  m  e.  Z )
44 ax-1cn 7867 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
4538, 44eqeltrdi 2261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
46 nfcv 2312 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
m
47 nfv 1521 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  m  e.  A
48 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
49 nfcv 2312 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
1
5047, 48, 49nfif 3554 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )
51 eleq1w 2231 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
52 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
5351, 52ifbieq1d 3548 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
54 eqid 2170 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )  =  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
5546, 50, 53, 54fvmptf 5588 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  Z  /\  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
5643, 45, 55syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ B ,  1 ) )
57 1ex 7915 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
5857fvconst2 5712 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( (
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  m )  =  1 )
5941, 58syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  (
( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  m
)  =  1 )
6038, 56, 593eqtr4d 2213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  m  e.  ( ( N  + 
1 ) ... n
) )  ->  (
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) `  m )  =  ( ( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  m
) )
616ad2antrr 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  Z )
62 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
632uztrn2 9504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  Z  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  ->  p  e.  Z )
6461, 62, 63syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  p  e.  Z )
6517ad2antrr 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  A  C_  ( M ... N ) )
6611ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
6766zred 9334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
68 peano2re 8055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
70 eluzelz 9496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  p  e.  ZZ )
7170adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  p  e.  ZZ )
7271zred 9334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  p  e.  RR )
7367ltp1d 8846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
74 eluzle 9499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  p )
7574adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  p )
7667, 69, 72, 73, 75ltletrd 8342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  <  p )
77 zltnle 9258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( N  <  p  <->  -.  p  <_  N )
)
7866, 71, 77syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  <  p  <->  -.  p  <_  N ) )
7976, 78mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  p  <_  N )
8079intnand 926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  ( M  <_  p  /\  p  <_  N ) )
8180intnand 926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  p  /\  p  <_  N ) ) )
82 elfz2 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  p  /\  p  <_  N ) ) )
8381, 82sylnibr 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  p  e.  ( M ... N
) )
8465, 83ssneldd 3150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  p  e.  A )
8584iffalsed 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  if (
p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 )  =  1 )
8685, 44eqeltrdi 2261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  if (
p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )
87 nfcv 2312 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
p
88 nfv 1521 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  p  e.  A
89 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ p  /  k ]_ B
9088, 89, 49nfif 3554 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 )
91 eleq1w 2231 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  p  ->  (
k  e.  A  <->  p  e.  A ) )
92 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  p  ->  B  =  [_ p  /  k ]_ B )
9391, 92ifbieq1d 3548 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  p  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 )  =  if ( p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 ) )
9487, 90, 93, 54fvmptf 5588 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Z  /\  if ( p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 )  e.  CC )  -> 
( ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `
 p )  =  if ( p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 ) )
9564, 86, 94syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  p )  =  if ( p  e.  A ,  [_ p  /  k ]_ B ,  1 ) )
9695, 86eqeltrd 2247 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) `  p )  e.  CC )
9757fvconst2 5712 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( (
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  p )  =  1 )
9897adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  p )  =  1 )
9998, 44eqeltrdi 2261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) `  p )  e.  CC )
100 mulcl 7901 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  CC  /\  q  e.  CC )  ->  ( p  x.  q
)  e.  CC )
101100adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  ( p  e.  CC  /\  q  e.  CC ) )  -> 
( p  x.  q
)  e.  CC )
10216, 60, 96, 99, 101seq3fveq 10427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq ( N  +  1
) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) ) `
 n )  =  (  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )  X. 
{ 1 } ) ) `  n ) )
1038prodf1 11505 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  (  seq ( N  +  1
) (  x.  , 
( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) ) `  n )  =  1 )
104103adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq ( N  +  1
) (  x.  , 
( ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  X.  { 1 } ) ) `  n )  =  1 )
105102, 104eqtrd 2203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (  seq ( N  +  1
) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) ) `
 n )  =  1 )
1068, 12, 14, 15, 105climconst 11253 . . 3  |-  ( ph  ->  seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  1 )
107 breq1 3992 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
y #  0  <->  1 #  0
) )
108 breq2 3993 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (  seq ( N  +  1 ) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  1 ) )
109107, 108anbi12d 470 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  (
( y #  0  /\ 
seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( 1 #  0  /\  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  1 ) ) )
11057, 109spcev 2825 . . 3  |-  ( ( 1 #  0  /\  seq ( N  +  1
) (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  ~~>  1 )  ->  E. y
( y #  0  /\ 
seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
1117, 106, 110sylancr 412 . 2  |-  ( ph  ->  E. y ( y #  0  /\  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
112 seqeq1 10404 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  seq n (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  =  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) ) )
113112breq1d 3999 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (  seq n (  x.  , 
( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B , 
1 ) ) )  ~~>  y  <->  seq ( N  + 
1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
114113anbi2d 461 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( y #  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  ( y #  0  /\  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
115114exbidv 1818 . . 3  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y )  <->  E. y ( y #  0  /\  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) ) )
116115rspcev 2834 . 2  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  Z  /\  E. y ( y #  0  /\  seq ( N  +  1 ) (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )  ->  E. n  e.  Z  E. y
( y #  0  /\ 
seq n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
1176, 111, 116syl2anc 409 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  ( k  e.  Z  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   [_csb 3049    C_ wss 3121   ifcif 3526   {csn 3583   class class class wbr 3989    |-> cmpt 4050    X. cxp 4609   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775    + caddc 7777    x. cmul 7779    < clt 7954    <_ cle 7955   # cap 8500   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965    seqcseq 10401    ~~> cli 11241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242
This theorem is referenced by:  fprodssdc  11553
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