Theorem fprodntrivap 12376

Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodntriv.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fprodntriv.2	|- ( ph -> N e. Z )
fprodntriv.3	|- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodntrivap	|- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )

Distinct variable groups:   A, k, n, y   B, n, y   n, N, y   k, Z, n, y   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( y, k)   B( k)   M( y, k, n)   N( k)

Proof of Theorem fprodntrivap

Dummy variables m p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodntriv.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. Z )
2		fprodntriv.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	eleqtrdi 2331	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		peano2uz 9999	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
6	5, 2	eleqtrrdi 2332	. 2 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. Z )
7		1ap0 8926	. . 3 |- 1 # 0
8		eqid 2238	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( N + 1 ) )
9		eluzelz 9947	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
10	9, 2	eleq2s 2333	. . . . . 6 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ZZ )
12	11	peano2zd 9782	. . . 4 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
13		seqex 10907	. . . . 5 |- seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) e. _V
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) e. _V )
15		1cnd 8348	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. CC )
16		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
17		fprodntriv.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ ( M ... N ) )
18	17	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> A C_ ( M ... N ) )
19	11	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N e. ZZ )
20	19	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N e. RR )
21	19	peano2zd 9782	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
22	21	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
23		elfzelz 10445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> m e. ZZ )
24	23	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. ZZ )
25	24	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. RR )
26	20	ltp1d 9268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N < ( N + 1 ) )
27		elfzle1 10448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> ( N + 1 ) <_ m )
28	27	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) <_ m )
29	20, 22, 25, 26, 28	ltletrd 8758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> N < m )
30		zltnle 9701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( N < m <-> -. m <_ N ) )
31	19, 24, 30	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N < m <-> -. m <_ N ) )
32	29, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. m <_ N )
33	32	intnand 943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. ( M <_ m /\ m <_ N ) )
34	33	intnand 943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( M <_ m /\ m <_ N ) ) )
35		elfz2 10435	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( M <_ m /\ m <_ N ) ) )
36	34, 35	sylnibr 688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. m e. ( M ... N ) )
37	18, 36	ssneldd 3251	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> -. m e. A )
38	37	iffalsed 3650	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) = 1 )
39	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( N + 1 ) e. Z )
40		elfzuz 10441	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ( N + 1 ) ... n ) -> m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
42	2	uztrn2 9956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> m e. Z )
43	39, 41, 42	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> m e. Z )
44		ax-1cn 8278	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
45	38, 44	eqeltrdi 2329	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC )
46		nfcv 2392	. . . . . . . . 9 |- F/_ k m
47		nfv 1581	. . . . . . . . . 10 |- F/ k m e. A
48		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ m / k ]_ B
49		nfcv 2392	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k 1
50	47, 48, 49	nfif 3669	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 )
51		eleq1w 2299	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
52		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> B = [_ m / k ]_ B )
53	51, 52	ifbieq1d 3663	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
54		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
55	46, 50, 53, 54	fvmptf 5801	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Z /\ if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
56	43, 45, 55	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , [_ m / k ]_ B , 1 ) )
57		1ex 8327	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
58	57	fvconst2 5934	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` m ) = 1 )
59	41, 58	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` m ) = 1 )
60	38, 56, 59	3eqtr4d 2281	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ m e. ( ( N + 1 ) ... n ) ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` m ) = ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` m ) )
61	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. Z )
62		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
63	2	uztrn2 9956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. Z /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> p e. Z )
64	61, 62, 63	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> p e. Z )
65	17	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> A C_ ( M ... N ) )
66	11	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
67	66	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N e. RR )
68		peano2re 8469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
70		eluzelz 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> p e. ZZ )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> p e. ZZ )
72	71	zred 9779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> p e. RR )
73	67	ltp1d 9268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N < ( N + 1 ) )
74		eluzle 9950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( N + 1 ) <_ p )
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) <_ p )
76	67, 69, 72, 73, 75	ltletrd 8758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N < p )
77		zltnle 9701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
78	66, 71, 77	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N < p <-> -. p <_ N ) )
79	76, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. p <_ N )
80	79	intnand 943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. ( M <_ p /\ p <_ N ) )
81	80	intnand 943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ p e. ZZ ) /\ ( M <_ p /\ p <_ N ) ) )
82		elfz2 10435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ p e. ZZ ) /\ ( M <_ p /\ p <_ N ) ) )
83	81, 82	sylnibr 688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. p e. ( M ... N ) )
84	65, 83	ssneldd 3251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> -. p e. A )
85	84	iffalsed 3650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) = 1 )
86	85, 44	eqeltrdi 2329	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) e. CC )
87		nfcv 2392	. . . . . . . . 9 |- F/_ k p
88		nfv 1581	. . . . . . . . . 10 |- F/ k p e. A
89		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ p / k ]_ B
90	88, 89, 49	nfif 3669	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 )
91		eleq1w 2299	. . . . . . . . . 10 |- ( k = p -> ( k e. A <-> p e. A ) )
92		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . 10 |- ( k = p -> B = [_ p / k ]_ B )
93	91, 92	ifbieq1d 3663	. . . . . . . . 9 |- ( k = p -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) )
94	87, 90, 93, 54	fvmptf 5801	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. Z /\ if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` p ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) )
95	64, 86, 94	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` p ) = if ( p e. A , [_ p / k ]_ B , 1 ) )
96	95, 86	eqeltrd 2315	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` p ) e. CC )
97	57	fvconst2 5934	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` p ) = 1 )
98	97	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` p ) = 1 )
99	98, 44	eqeltrdi 2329	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ` p ) e. CC )
100		mulcl 8312	. . . . . . 7 |- ( ( p e. CC /\ q e. CC ) -> ( p x. q ) e. CC )
101	100	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) /\ ( p e. CC /\ q e. CC ) ) -> ( p x. q ) e. CC )
102	16, 60, 96, 99, 101	seq3fveq 10937	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` n ) = ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ) ` n ) )
103	8	prodf1 12334	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ) ` n ) = 1 )
104	103	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) X. { 1 } ) ) ` n ) = 1 )
105	102, 104	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ` n ) = 1 )
106	8, 12, 14, 15, 105	climconst 12081	. . 3 |- ( ph -> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 )
107		breq1 4134	. . . . 5 |- ( y = 1 -> ( y # 0 <-> 1 # 0 ) )
108		breq2 4135	. . . . 5 |- ( y = 1 -> ( seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 ) )
109	107, 108	anbi12d 477	. . . 4 |- ( y = 1 -> ( ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( 1 # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 ) ) )
110	57, 109	spcev 2920	. . 3 |- ( ( 1 # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> 1 ) -> E. y ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
111	7, 106, 110	sylancr 418	. 2 |- ( ph -> E. y ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
112		seqeq1 10908	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) )
113	112	breq1d 4141	. . . . 5 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
114	113	anbi2d 468	. . . 4 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
115	114	exbidv 1878	. . 3 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
116	115	rspcev 2929	. 2 |- ( ( ( N + 1 ) e. Z /\ E. y ( y # 0 /\ seq ( N + 1 ) ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
117	6, 111, 116	syl2anc 415	1 |- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , ( k e. Z |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   [_csb 3147   C_ wss 3220   ifcif 3638   {csn 3709   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   # cap 8917   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428   seqcseq 10905   ~~> cli 12069

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070

This theorem is used by:  fprodssdc  12382