Theorem elfzo1 10314

Description: Membership in a half-open integer range based at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo1	|- ( N e. ( 1..^ M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N < M ) )

Proof of Theorem elfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzossnn 10313	. . . 4 |- ( 1..^ M ) C_ NN
2	1	sseli 3189	. . 3 |- ( N e. ( 1..^ M ) -> N e. NN )
3		elfzouz2 10284	. . . 4 |- ( N e. ( 1..^ M ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
4		eluznn 9721	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. ( 1..^ M ) -> M e. NN )
6		elfzolt2 10279	. . 3 |- ( N e. ( 1..^ M ) -> N < M )
7	2, 5, 6	3jca 1180	. 2 |- ( N e. ( 1..^ M ) -> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N < M ) )
8		nnuz 9684	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9	8	eqimssi 3249	. . . . 5 |- NN C_ ( ZZ>= ` 1 )
10	9	sseli 3189	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
11		nnz 9391	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
12		id 19	. . . 4 |- ( N < M -> N < M )
13	10, 11, 12	3anim123i 1187	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N < M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ N < M ) )
14		elfzo2 10272	. . 3 |- ( N e. ( 1..^ M ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ M e. ZZ /\ N < M ) )
15	13, 14	sylibr 134	. 2 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN /\ N < M ) -> N e. ( 1..^ M ) )
16	7, 15	impbii 126	1 |- ( N e. ( 1..^ M ) <-> ( N e. NN /\ M e. NN /\ N < M ) )

Syntax hints:   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   1c1 7926   < clt 8107   NNcn 9036   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648  ..^cfzo 10264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10540  modsumfzodifsn  10541  eulerthlema  12552  modprm0  12577  nconstwlpolemgt0  16007