ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzo1 Unicode version

Theorem elfzo1 10208
Description: Membership in a half-open integer range based at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
elfzo1  |-  ( N  e.  ( 1..^ M )  <->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  < 
M ) )

Proof of Theorem elfzo1
StepHypRef Expression
1 fzossnn 10207 . . . 4  |-  ( 1..^ M )  C_  NN
21sseli 3166 . . 3  |-  ( N  e.  ( 1..^ M )  ->  N  e.  NN )
3 elfzouz2 10179 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4 eluznn 9618 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )
52, 3, 4syl2anc 411 . . 3  |-  ( N  e.  ( 1..^ M )  ->  M  e.  NN )
6 elfzolt2 10174 . . 3  |-  ( N  e.  ( 1..^ M )  ->  N  <  M )
72, 5, 63jca 1179 . 2  |-  ( N  e.  ( 1..^ M )  ->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  < 
M ) )
8 nnuz 9581 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
98eqimssi 3226 . . . . 5  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
109sseli 3166 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
11 nnz 9290 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
12 id 19 . . . 4  |-  ( N  <  M  ->  N  <  M )
1310, 11, 123anim123i 1186 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  < 
M ) )
14 elfzo2 10168 . . 3  |-  ( N  e.  ( 1..^ M )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  <  M ) )
1513, 14sylibr 134 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  <  M )  ->  N  e.  ( 1..^ M ) )
167, 15impbii 126 1  |-  ( N  e.  ( 1..^ M )  <->  ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN  /\  N  < 
M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105    /\ w3a 980    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   1c1 7830    < clt 8010   NNcn 8937   ZZcz 9271   ZZ>=cuz 9546  ..^cfzo 10160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027  df-fzo 10161
This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10413  modsumfzodifsn  10414  eulerthlema  12248  modprm0  12272  nconstwlpolemgt0  15210
  Copyright terms: Public domain W3C validator