Theorem eluznn 9506

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in NN. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	|- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9469	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	uztrn2 9451	1 |- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   ` cfv 5169   1c1 7728   NNcn 8828   ZZ>=cuz 9434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-addcom 7827  ax-addass 7829  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-ltadd 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-inn 8829  df-z 9163  df-uz 9435

This theorem is referenced by:  elfzo1  10084  bcval5  10632  caucvgrelemcau  10875  caucvgre  10876  cvg1nlemcau  10879  cvg1nlemres  10880  resqrexlemcvg  10914  resqrexlemgt0  10915  resqrexlemglsq  10917  resqrexlemga  10918  climrecvg1n  11240  climcvg1nlem  11241  cvgratnnlemmn  11417  cvgratnnlemseq  11418  cvgratnnlemrate  11422  mertenslem2  11428  cvgcmp2nlemabs  13590  trilpolemisumle  13596  trilpolemeq1  13598  trilpolemlt1  13599  nconstwlpolemgt0  13621