Theorem eluznn 10016

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in NN. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	|- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9974	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2	1	uztrn2 9956	1 |- ( ( N e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. NN )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   ` cfv 5380   1c1 8186   NNcn 9313   ZZ>=cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  elfzo1  10620  bcval5  11223  caucvgrelemcau  11768  caucvgre  11769  cvg1nlemcau  11772  cvg1nlemres  11773  resqrexlemcvg  11807  resqrexlemgt0  11808  resqrexlemglsq  11810  resqrexlemga  11811  climrecvg1n  12139  climcvg1nlem  12140  cvgratnnlemmn  12317  cvgratnnlemseq  12318  cvgratnnlemrate  12322  mertenslem2  12328  pcmpt2  13152  pcmptdvds  13153  2expltfac  13248  strext  13518  mulgnndir  14013  birthdaylem2  16226  chtqub  16296  bposlem3  16313  bposlem4  16314  bposlem5  16315  bposlem6  16316  lgsdilem2  16360  cvgcmp2nlemabs  17287  trilpolemisumle  17294  trilpolemeq1  17296  trilpolemlt1  17297  nconstwlpolemgt0  17321