Theorem elfzo1 10386

Description: Membership in a half-open integer range based at 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo1	⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀))

Proof of Theorem elfzo1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzossnn 10385	. . . 4 ⊢ (1..^𝑀) ⊆ ℕ
2	1	sseli 3220	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		elfzouz2 10354	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		eluznn 9791	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
6		elfzolt2 10349	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
7	2, 5, 6	3jca 1201	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀))
8		nnuz 9754	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	8	eqimssi 3280	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
10	9	sseli 3220	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11		nnz 9461	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
12		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 → 𝑁 < 𝑀)
13	10, 11, 12	3anim123i 1208	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 𝑀))
14		elfzo2 10342	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 𝑀))
15	13, 14	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (1..^𝑀))
16	7, 15	impbii 126	1 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < 𝑀))

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  1c1 7996   < clt 8177  ℕcn 9106  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718  ..^cfzo 10334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335

This theorem is referenced by:  modfzo0difsn  10612  modsumfzodifsn  10613  eulerthlema  12747  modprm0  12772  nconstwlpolemgt0  16391