Theorem eluzgtdifelfzo 10100

Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzgtdifelfzo	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵))))

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		eluzelz 9449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		simprr 522	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	6, 7	zsubcld 9292	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ)
9	8	ancoms 266	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ)
10	4, 9	zaddcld 9291	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ∈ ℤ)
11		zre 9172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		zre 9172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		posdif 8331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝐵)))
14	13	biimpd 143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
15	11, 12, 14	syl2anr 288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
16	15	adantld 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
17	16	imp 123	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
18		resubcl 8140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
19	12, 11, 18	syl2an 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
20	19	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
21		eluzelre 9450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	20, 22	ltaddposd 8405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (0 < (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
24	17, 23	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵)))
25		zcn 9173	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		eluzelcn 9451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	ad2antrl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29		zcn 9173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		addsub12 8089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) = (𝑁 + (𝐴 − 𝐵)))
33	32	breq2d 3978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
34	26, 28, 31, 33	syl3anc 1220	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
35	24, 34	mpbird 166	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)))
36		elfzo2 10053	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵))))
37	2, 10, 35, 36	syl3anbrc 1166	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))))
38		fzosubel3 10099	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))) ∧ (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵)))
39	37, 9, 38	syl2anc 409	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵)))
40	39	ex 114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3966  ‘cfv 5171  (class class class)co 5825  ℂcc 7731  ℝcr 7732  0cc0 7733   + caddc 7736   < clt 7913   − cmin 8047  ℤcz 9168  ℤ_≥cuz 9440  ..^cfzo 10045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-addcom 7833  ax-addass 7835  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-ltadd 7849

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-inn 8835  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-fz 9914  df-fzo 10046

This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  10101