Theorem eluzgtdifelfzo 10403

Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzgtdifelfzo	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵))))

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		eluzelz 9731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8	6, 7	zsubcld 9574	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ)
9	8	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ)
10	4, 9	zaddcld 9573	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ∈ ℤ)
11		zre 9450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12		zre 9450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		posdif 8602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝐵)))
14	13	biimpd 144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
15	11, 12, 14	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
16	15	adantld 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵)))
17	16	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
18		resubcl 8410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
19	12, 11, 18	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
21		eluzelre 9732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	20, 22	ltaddposd 8676	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (0 < (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
24	17, 23	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵)))
25		zcn 9451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27		eluzelcn 9733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29		zcn 9451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		addsub12 8359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) = (𝑁 + (𝐴 − 𝐵)))
33	32	breq2d 4095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
34	26, 28, 31, 33	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴 − 𝐵))))
35	24, 34	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)))
36		elfzo2 10346	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐴 + (𝑁 − 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (𝐴 + (𝑁 − 𝐵))))
37	2, 10, 35, 36	syl3anbrc 1205	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))))
38		fzosubel3 10402	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁 − 𝐵))) ∧ (𝑁 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵)))
39	37, 9, 38	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵)))
40	39	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁 − 𝐴) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℂcc 7997  ℝcr 7998  0cc0 7999   + caddc 8002   < clt 8181   − cmin 8317  ℤcz 9446  ℤ_≥cuz 9722  ..^cfzo 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339

This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  10404