ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzgtdifelfzo GIF version

Theorem eluzgtdifelfzo 9662
Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzgtdifelfzo ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵))))

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
21adantl 272 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐴))
3 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 271 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 eluzelz 9082 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
65ad2antrr 473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 simprr 500 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
86, 7zsubcld 8927 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁𝐵) ∈ ℤ)
98ancoms 265 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁𝐵) ∈ ℤ)
104, 9zaddcld 8926 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴 + (𝑁𝐵)) ∈ ℤ)
11 zre 8808 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12 zre 8808 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
13 posdif 7987 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴𝐵)))
1413biimpd 143 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴𝐵)))
1511, 12, 14syl2anr 285 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < (𝐴𝐵)))
1615adantld 273 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴𝐵)))
1716imp 123 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 0 < (𝐴𝐵))
18 resubcl 7800 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
1912, 11, 18syl2an 284 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
2019adantr 271 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
21 eluzelre 9083 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221ad2antrl 475 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2320, 22ltaddposd 8060 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (0 < (𝐴𝐵) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
2417, 23mpbid 146 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵)))
25 zcn 8809 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2625ad2antrr 473 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
27 eluzelcn 9084 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
2827ad2antrl 475 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29 zcn 8809 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3029adantl 272 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3130adantr 271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32 addsub12 7749 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝑁𝐵)) = (𝑁 + (𝐴𝐵)))
3332breq2d 3863 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
3426, 28, 31, 33syl3anc 1175 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)) ↔ 𝑁 < (𝑁 + (𝐴𝐵))))
3524, 34mpbird 166 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵)))
36 elfzo2 9615 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐴 + (𝑁𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (𝐴 + (𝑁𝐵))))
372, 10, 35, 36syl3anbrc 1128 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → 𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))))
38 fzosubel3 9661 . . 3 ((𝑁 ∈ (𝐴..^(𝐴 + (𝑁𝐵))) ∧ (𝑁𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵)))
3937, 9, 38syl2anc 404 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴)) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵)))
4039ex 114 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝑁𝐴) ∈ (0..^(𝑁𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 925  wcel 1439   class class class wbr 3851  cfv 5028  (class class class)co 5666  cc 7402  cr 7403  0cc0 7404   + caddc 7407   < clt 7576  cmin 7707  cz 8804  cuz 9073  ..^cfzo 9607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-fz 9479  df-fzo 9608
This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  9663
  Copyright terms: Public domain W3C validator