ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exbtwnzlemstep GIF version

Theorem exbtwnzlemstep 10032
Description: Lemma for exbtwnzlemex 10034. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemstep.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
exbtwnzlemstep.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
exbtwnzlemstep.tri ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemstep ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐾,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Proof of Theorem exbtwnzlemstep
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 523 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
2 exbtwnzlemstep.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
32ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℕ)
43nnzd 9179 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℤ)
51, 4zaddcld 9184 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
6 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴)
7 exbtwnzlemstep.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87ad3antrrr 483 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
95zred 9180 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
10 1red 7788 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
119, 10readdcld 7802 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ∈ ℝ)
123nnred 8740 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℝ)
139, 12readdcld 7802 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾) ∈ ℝ)
14 simplrr 525 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
151zcnd 9181 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
163nncnd 8741 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
17 1cnd 7789 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
1815, 16, 17addassd 7795 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
1914, 18breqtrrd 3956 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 1))
203nnge1d 8770 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐾)
2110, 12, 9, 20leadd2dd 8329 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ≤ ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
228, 11, 13, 19, 21ltletrd 8192 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
23 breq1 3932 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
24 oveq1 5781 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
2524breq2d 3941 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾)))
2623, 25anbi12d 464 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))))
2726rspcev 2789 . . . . . . 7 (((𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
285, 6, 22, 27syl12anc 1214 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29 simpllr 523 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
30 simplrl 524 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚𝐴)
31 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
32 breq1 3932 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐴𝑚𝐴))
33 oveq1 5781 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
3433breq2d 3941 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
3532, 34anbi12d 464 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
3635rspcev 2789 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
3729, 30, 31, 36syl12anc 1214 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
38 breq1 3932 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑛𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
39 breq2 3933 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < 𝑛𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
4038, 39orbi12d 782 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑛𝐴𝐴 < 𝑛) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
41 exbtwnzlemstep.tri . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
4241ralrimiva 2505 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
4342ad2antrr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
44 simplr 519 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
452ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℕ)
4645nnzd 9179 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
4744, 46zaddcld 9184 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
4840, 43, 47rspcdva 2794 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
4928, 37, 48mpjaodan 787 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5049ex 114 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5150rexlimdva 2549 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5251imp 123 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53 breq1 3932 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚𝐴𝑗𝐴))
54 oveq1 5781 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
5554breq2d 3941 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5653, 55anbi12d 464 . . 3 (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5756cbvrexv 2655 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5852, 57sylibr 133 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7626  1c1 7628   + caddc 7630   < clt 7807  cle 7808  cn 8727  cz 9061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  10033
  Copyright terms: Public domain W3C validator