ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exbtwnzlemstep GIF version

Theorem exbtwnzlemstep 10234
Description: Lemma for exbtwnzlemex 10236. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemstep.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
exbtwnzlemstep.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
exbtwnzlemstep.tri ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemstep ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐾,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Proof of Theorem exbtwnzlemstep
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 534 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
2 exbtwnzlemstep.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
32ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℕ)
43nnzd 9363 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℤ)
51, 4zaddcld 9368 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
6 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴)
7 exbtwnzlemstep.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
95zred 9364 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
10 1red 7963 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
119, 10readdcld 7977 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ∈ ℝ)
123nnred 8921 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℝ)
139, 12readdcld 7977 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾) ∈ ℝ)
14 simplrr 536 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
151zcnd 9365 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
163nncnd 8922 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
17 1cnd 7964 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
1815, 16, 17addassd 7970 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
1914, 18breqtrrd 4028 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 1))
203nnge1d 8951 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐾)
2110, 12, 9, 20leadd2dd 8507 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ≤ ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
228, 11, 13, 19, 21ltletrd 8370 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
23 breq1 4003 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
24 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
2524breq2d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾)))
2623, 25anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))))
2726rspcev 2841 . . . . . . 7 (((𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
285, 6, 22, 27syl12anc 1236 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29 simpllr 534 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
30 simplrl 535 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚𝐴)
31 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
32 breq1 4003 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐴𝑚𝐴))
33 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
3433breq2d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
3532, 34anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
3635rspcev 2841 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
3729, 30, 31, 36syl12anc 1236 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
38 breq1 4003 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑛𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
39 breq2 4004 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < 𝑛𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
4038, 39orbi12d 793 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑛𝐴𝐴 < 𝑛) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
41 exbtwnzlemstep.tri . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
4241ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
4342ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
44 simplr 528 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
452ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℕ)
4645nnzd 9363 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
4744, 46zaddcld 9368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
4840, 43, 47rspcdva 2846 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
4928, 37, 48mpjaodan 798 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5049ex 115 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5150rexlimdva 2594 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5251imp 124 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53 breq1 4003 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚𝐴𝑗𝐴))
54 oveq1 5876 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
5554breq2d 4012 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5653, 55anbi12d 473 . . 3 (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5756cbvrexv 2704 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5852, 57sylibr 134 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cr 7801  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  cle 7983  cn 8908  cz 9242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  10235
  Copyright terms: Public domain W3C validator