ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exbtwnzlemstep GIF version

Theorem exbtwnzlemstep 10261
Description: Lemma for exbtwnzlemex 10263. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
exbtwnzlemstep.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
exbtwnzlemstep.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
exbtwnzlemstep.tri ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
Assertion
Ref Expression
exbtwnzlemstep ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐾,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Proof of Theorem exbtwnzlemstep
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 534 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
2 exbtwnzlemstep.k . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
32ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℕ)
43nnzd 9387 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℤ)
51, 4zaddcld 9392 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
6 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴)
7 exbtwnzlemstep.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
95zred 9388 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
10 1red 7985 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
119, 10readdcld 8000 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ∈ ℝ)
123nnred 8945 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℝ)
139, 12readdcld 8000 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾) ∈ ℝ)
14 simplrr 536 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
151zcnd 9389 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
163nncnd 8946 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
17 1cnd 7986 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
1815, 16, 17addassd 7993 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
1914, 18breqtrrd 4043 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 1))
203nnge1d 8975 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐾)
2110, 12, 9, 20leadd2dd 8530 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ≤ ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
228, 11, 13, 19, 21ltletrd 8393 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
23 breq1 4018 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
24 oveq1 5895 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
2524breq2d 4027 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾)))
2623, 25anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))))
2726rspcev 2853 . . . . . . 7 (((𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
285, 6, 22, 27syl12anc 1246 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29 simpllr 534 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
30 simplrl 535 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚𝐴)
31 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
32 breq1 4018 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐴𝑚𝐴))
33 oveq1 5895 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
3433breq2d 4027 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
3532, 34anbi12d 473 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
3635rspcev 2853 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
3729, 30, 31, 36syl12anc 1246 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
38 breq1 4018 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑛𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
39 breq2 4019 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < 𝑛𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
4038, 39orbi12d 794 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑛𝐴𝐴 < 𝑛) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
41 exbtwnzlemstep.tri . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
4241ralrimiva 2560 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
4342ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛𝐴𝐴 < 𝑛))
44 simplr 528 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
452ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℕ)
4645nnzd 9387 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
4744, 46zaddcld 9392 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
4840, 43, 47rspcdva 2858 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
4928, 37, 48mpjaodan 799 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5049ex 115 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5150rexlimdva 2604 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5251imp 124 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53 breq1 4018 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚𝐴𝑗𝐴))
54 oveq1 5895 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
5554breq2d 4027 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5653, 55anbi12d 473 . . 3 (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5756cbvrexv 2716 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5852, 57sylibr 134 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 709   = wceq 1363  wcel 2158  wral 2465  wrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  cr 7823  1c1 7825   + caddc 7827   < clt 8005  cle 8006  cn 8932  cz 9266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267
This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  10262
  Copyright terms: Public domain W3C validator