Theorem exbtwnzlemstep 10261

Description: Lemma for exbtwnzlemex 10263. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemstep.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
exbtwnzlemstep.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
exbtwnzlemstep.tri	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemstep	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐾,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Proof of Theorem exbtwnzlemstep

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
2		exbtwnzlemstep.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9387	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	1, 4	zaddcld 9392	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
6		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴)
7		exbtwnzlemstep.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	5	zred 9388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
10		1red 7985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11	9, 10	readdcld 8000	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ∈ ℝ)
12	3	nnred 8945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℝ)
13	9, 12	readdcld 8000	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾) ∈ ℝ)
14		simplrr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
15	1	zcnd 9389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
16	3	nncnd 8946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
17		1cnd 7986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	addassd 7993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
19	14, 18	breqtrrd 4043	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 1))
20	3	nnge1d 8975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐾)
21	10, 12, 9, 20	leadd2dd 8530	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ≤ ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
22	8, 11, 13, 19, 21	ltletrd 8393	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
23		breq1 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
24		oveq1 5895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
25	24	breq2d 4027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾)))
26	23, 25	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))))
27	26	rspcev 2853	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
28	5, 6, 22, 27	syl12anc 1246	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
30		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ≤ 𝐴)
31		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
32		breq1 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ≤ 𝐴 ↔ 𝑚 ≤ 𝐴))
33		oveq1 5895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
34	33	breq2d 4027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
35	32, 34	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
36	35	rspcev 2853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
37	29, 30, 31, 36	syl12anc 1246	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
38		breq1 4018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑛 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
39		breq2 4019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
40	38, 39	orbi12d 794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
41		exbtwnzlemstep.tri	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
42	41	ralrimiva 2560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
44		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
45	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℕ)
46	45	nnzd 9387	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
47	44, 46	zaddcld 9392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
48	40, 43, 47	rspcdva 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
49	28, 37, 48	mpjaodan 799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
50	49	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
51	50	rexlimdva 2604	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52	51	imp 124	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53		breq1 4018	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ 𝑗 ≤ 𝐴))
54		oveq1 5895	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
55	54	breq2d 4027	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
56	53, 55	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
57	56	cbvrexv 2716	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
58	52, 57	sylibr 134	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  ∃wrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  ℝcr 7823  1c1 7825   + caddc 7827   < clt 8005   ≤ cle 8006  ℕcn 8932  ℤcz 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  10262