Theorem exbtwnzlemstep 10412

Description: Lemma for exbtwnzlemex 10414. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemstep.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
exbtwnzlemstep.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
exbtwnzlemstep.tri	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemstep	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐾,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Proof of Theorem exbtwnzlemstep

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
2		exbtwnzlemstep.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 9514	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	1, 4	zaddcld 9519	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
6		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴)
7		exbtwnzlemstep.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	5	zred 9515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
10		1red 8107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11	9, 10	readdcld 8122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ∈ ℝ)
12	3	nnred 9069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℝ)
13	9, 12	readdcld 8122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾) ∈ ℝ)
14		simplrr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
15	1	zcnd 9516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
16	3	nncnd 9070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
17		1cnd 8108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	addassd 8115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
19	14, 18	breqtrrd 4079	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 1))
20	3	nnge1d 9099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐾)
21	10, 12, 9, 20	leadd2dd 8653	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ≤ ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
22	8, 11, 13, 19, 21	ltletrd 8516	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
23		breq1 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
24		oveq1 5964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
25	24	breq2d 4063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾)))
26	23, 25	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))))
27	26	rspcev 2881	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
28	5, 6, 22, 27	syl12anc 1248	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
30		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ≤ 𝐴)
31		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
32		breq1 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ≤ 𝐴 ↔ 𝑚 ≤ 𝐴))
33		oveq1 5964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
34	33	breq2d 4063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
35	32, 34	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
36	35	rspcev 2881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
37	29, 30, 31, 36	syl12anc 1248	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
38		breq1 4054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑛 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
39		breq2 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
40	38, 39	orbi12d 795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
41		exbtwnzlemstep.tri	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
42	41	ralrimiva 2580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
44		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
45	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℕ)
46	45	nnzd 9514	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
47	44, 46	zaddcld 9519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
48	40, 43, 47	rspcdva 2886	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
49	28, 37, 48	mpjaodan 800	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
50	49	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
51	50	rexlimdva 2624	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52	51	imp 124	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53		breq1 4054	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ 𝑗 ≤ 𝐴))
54		oveq1 5964	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
55	54	breq2d 4063	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
56	53, 55	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
57	56	cbvrexv 2740	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
58	52, 57	sylibr 134	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  ℝcr 7944  1c1 7946   + caddc 7948   < clt 8127   ≤ cle 8128  ℕcn 9056  ℤcz 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  10413