Theorem exbtwnzlemstep 9808

Description: Lemma for exbtwnzlemex 9810. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
exbtwnzlemstep.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
exbtwnzlemstep.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
exbtwnzlemstep.tri	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
exbtwnzlemstep	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑚,𝐾,𝑛   𝜑,𝑚,𝑛

Proof of Theorem exbtwnzlemstep

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 502	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
2		exbtwnzlemstep.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3	2	ad3antrrr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 8966	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	1, 4	zaddcld 8971	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
6		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴)
7		exbtwnzlemstep.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	ad3antrrr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	5	zred 8967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
10		1red 7600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11	9, 10	readdcld 7614	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ∈ ℝ)
12	3	nnred 8533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℝ)
13	9, 12	readdcld 7614	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾) ∈ ℝ)
14		simplrr 504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
15	1	zcnd 8968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
16	3	nncnd 8534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
17		1cnd 7601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	addassd 7607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
19	14, 18	breqtrrd 3893	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 1))
20	3	nnge1d 8563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐾)
21	10, 12, 9, 20	leadd2dd 8134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ≤ ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
22	8, 11, 13, 19, 21	ltletrd 7998	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
23		breq1 3870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
24		oveq1 5697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
25	24	breq2d 3879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾)))
26	23, 25	anbi12d 458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))))
27	26	rspcev 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
28	5, 6, 22, 27	syl12anc 1179	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29		simpllr 502	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
30		simplrl 503	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ≤ 𝐴)
31		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
32		breq1 3870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 ≤ 𝐴 ↔ 𝑚 ≤ 𝐴))
33		oveq1 5697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
34	33	breq2d 3879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
35	32, 34	anbi12d 458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
36	35	rspcev 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
37	29, 30, 31, 36	syl12anc 1179	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
38		breq1 3870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑛 ≤ 𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
39		breq2 3871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < 𝑛 ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
40	38, 39	orbi12d 745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
41		exbtwnzlemstep.tri	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
42	41	ralrimiva 2458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
43	42	ad2antrr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑛))
44		simplr 498	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
45	2	ad2antrr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℕ)
46	45	nnzd 8966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
47	44, 46	zaddcld 8971	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
48	40, 43, 47	rspcdva 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
49	28, 37, 48	mpjaodan 750	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
50	49	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
51	50	rexlimdva 2502	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
52	51	imp 123	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
53		breq1 3870	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 ≤ 𝐴 ↔ 𝑗 ≤ 𝐴))
54		oveq1 5697	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
55	54	breq2d 3879	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
56	53, 55	anbi12d 458	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
57	56	cbvrexv 2605	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
58	52, 57	sylibr 133	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 667   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∀wral 2370  ∃wrex 2371   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  ℝcr 7446  1c1 7448   + caddc 7450   < clt 7619   ≤ cle 7620  ℕcn 8520  ℤcz 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849

This theorem is referenced by:  exbtwnzlemshrink  9809