Theorem fihashen1 11261

Description: A finite set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashen1	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Proof of Theorem fihashen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4262	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		hashsng 11260	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
4	3	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ 1 = (♯‘{∅})
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 1 = (♯‘{∅}))
6	5	eqeq2d 2250	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})))
7		snfig 7108	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
8	1, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
9		hashen 11246	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
10	8, 9	mpan2 429	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
11		df1o2 6705	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
12	11	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ {∅} = 1o
13	12	breq2i 4139	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o)
14	13	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o))
15	6, 10, 14	3bitrd 214	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ∅c0 3520  {csn 3709   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  1_oc1o 6684   ≈ cen 7025  Fincfn 7027  1c1 8187  ♯chash 11237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-ihash 11238

This theorem is used by:  en1hash  11262