Theorem fihashen1 10734

Description: A finite set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashen1	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Proof of Theorem fihashen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4116	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		hashsng 10733	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
4	3	eqcomi 2174	. . . 4 ⊢ 1 = (♯‘{∅})
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 1 = (♯‘{∅}))
6	5	eqeq2d 2182	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})))
7		snfig 6792	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
8	1, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
9		hashen 10718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
10	8, 9	mpan2 423	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
11		df1o2 6408	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
12	11	eqcomi 2174	. . . 4 ⊢ {∅} = 1o
13	12	breq2i 3997	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o)
14	13	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o))
15	6, 10, 14	3bitrd 213	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  ∅c0 3414  {csn 3583   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  1_oc1o 6388   ≈ cen 6716  Fincfn 6718  1c1 7775  ♯chash 10709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-ihash 10710

This theorem is referenced by: (None)