Theorem fihashen1 10957

Description: A finite set has size 1 if and only if it is equinumerous to the ordinal 1. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Intuitionized by Jim Kingdon, 23-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashen1	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Proof of Theorem fihashen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4176	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		hashsng 10956	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
4	3	eqcomi 2210	. . . 4 ⊢ 1 = (♯‘{∅})
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 1 = (♯‘{∅}))
6	5	eqeq2d 2218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘{∅})))
7		snfig 6917	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → {∅} ∈ Fin)
8	1, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅} ∈ Fin
9		hashen 10942	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {∅} ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
10	8, 9	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘{∅}) ↔ 𝐴 ≈ {∅}))
11		df1o2 6525	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
12	11	eqcomi 2210	. . . 4 ⊢ {∅} = 1o
13	12	breq2i 4056	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o)
14	13	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ {∅} ↔ 𝐴 ≈ 1o))
15	6, 10, 14	3bitrd 214	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ≈ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ∅c0 3462  {csn 3635   class class class wbr 4048  ‘cfv 5277  1_oc1o 6505   ≈ cen 6835  Fincfn 6837  1c1 7939  ♯chash 10933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-recs 6401  df-frec 6487  df-1o 6512  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-inn 9050  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-fz 10144  df-ihash 10934

This theorem is referenced by: (None)