Theorem flaplelt 10724

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
flaplelt	|- ( ( A e. QQ \/ ( A e. RR /\ A. q e. QQ A # q ) ) -> ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )

Distinct variable group:   A, q

Proof of Theorem flaplelt

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 10035	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ A. q e. QQ A # q ) -> A e. RR )
3	1, 2	jaoi 728	. . 3 |- ( ( A e. QQ \/ ( A e. RR /\ A. q e. QQ A # q ) ) -> A e. RR )
4		flval 10718	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
5	4	eqcomd 2244	. . 3 |- ( A e. RR -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( ( A e. QQ \/ ( A e. RR /\ A. q e. QQ A # q ) ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) )
7		flapcl 10722	. . 3 |- ( ( A e. QQ \/ ( A e. RR /\ A. q e. QQ A # q ) ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
8		qbtwnz 10697	. . . 4 |- ( A e. QQ -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
9		zssq 10037	. . . . . 6 |- ZZ C_ QQ
10		ssralv 3312	. . . . . 6 |- ( ZZ C_ QQ -> ( A. q e. QQ A # q -> A. q e. ZZ A # q ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. q e. QQ A # q -> A. q e. ZZ A # q )
12		apbtwnz 10720	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ A. q e. ZZ A # q ) -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
13	11, 12	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ A. q e. QQ A # q ) -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
14	8, 13	jaoi 728	. . 3 |- ( ( A e. QQ \/ ( A e. RR /\ A. q e. QQ A # q ) ) -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
15		breq1 4133	. . . . 5 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( x <_ A <-> ( |_ ` A ) <_ A ) )
16		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( x + 1 ) = ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
17	16	breq2d 4142	. . . . 5 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
18	15, 17	anbi12d 477	. . . 4 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
19	18	riota2 6062	. . 3 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
20	7, 14, 19	syl2anc 415	. 2 |- ( ( A e. QQ \/ ( A e. RR /\ A. q e. QQ A # q ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
21	6, 20	mpbird 167	1 |- ( ( A e. QQ \/ ( A e. RR /\ A. q e. QQ A # q ) ) -> ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E!wreu 2530   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   iota_crio 6037  (class class class)co 6085   RRcr 8179   1c1 8181   + caddc 8183   < clt 8361   <_ cle 8362   # cap 8912   ZZcz 9649   QQcq 10029   |_cfl 10714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-q 10030  df-rp 10066  df-fl 10716

This theorem is used by:  flapge  10731  flaplt  10733  bposlem1  16272  bposlem4  16275  bposlem5  16276