Theorem bposlem4 16275

Description: Lemma for bpos . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
bpos.2	|- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
bpos.3	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
bpos.4	|- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
bpos.5	|- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bposlem4	|- ( ph -> M e. ( 3 ... K ) )

Distinct variable groups:   F, p   n, p, K   M, p   n, N, p   ph, n, p

Allowed substitution hints:   F( n)   M( n)

Proof of Theorem bposlem4

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 9471	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
2		5nn 9474	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN
3		bpos.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
4		eluznn 10010	. . . . . . . . 9 |- ( ( 5 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. NN )
5	2, 3, 4	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
6		nnmulcl 9328	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
7	1, 5, 6	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
8	7	nnnn0d 9625	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
9		sqrtrirr 13008	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. N ) e. NN0 -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. QQ \/ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ A. q e. QQ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) # q ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. QQ \/ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ A. q e. QQ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) # q ) ) )
11		flapcl 10722	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. QQ \/ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ A. q e. QQ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) # q ) ) -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
13		sqrt9 11830	. . . . . 6 |- ( sqr ` 9 ) = 3
14		9re 9394	. . . . . . . . 9 |- 9 e. RR
15	14	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 9 e. RR )
16		10re 9804	. . . . . . . . 9 |- ; 1 0 e. RR
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ; 1 0 e. RR )
18	7	nnred 9320	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
19		lep1 9178	. . . . . . . . . . 11 |- ( 9 e. RR -> 9 <_ ( 9 + 1 ) )
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 9 <_ ( 9 + 1 )
21		9p1e10 9784	. . . . . . . . . 10 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
22	20, 21	breqtri 4155	. . . . . . . . 9 |- 9 <_ ; 1 0
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 9 <_ ; 1 0 )
24		5cn 9387	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. CC
25		2cn 9378	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
26		5t2e10 9886	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
27	24, 25, 26	mulcomli 8334	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
28		eluzle 9944	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ N )
29	3, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 5 <_ N )
30	5	nnred 9320	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
31		5re 9386	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 e. RR
32		2re 9377	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
33		2pos 9398	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
34	32, 33	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
35		lemul2 9190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 5 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
36	31, 34, 35	mp3an13 1369	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
37	30, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
38	29, 37	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) )
39	27, 38	eqbrtrrid 4166	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ; 1 0 <_ ( 2 x. N ) )
40	15, 17, 18, 23, 39	letrd 8452	. . . . . . 7 |- ( ph -> 9 <_ ( 2 x. N ) )
41		0re 8327	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
42		9pos 9411	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 9
43	41, 14, 42	ltleii 8430	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 9
44	14, 43	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 |- ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 )
45	7	nnrpd 10106	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
46	45	rprege0d 10116	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) )
47		sqrtle 11818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 ) /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
48	44, 46, 47	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
49	40, 48	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
50	13, 49	eqbrtrrid 4166	. . . . 5 |- ( ph -> 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
51		3z 9678	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
52		flapge 10731	. . . . . 6 |- ( ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. QQ \/ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ A. q e. QQ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) # q ) ) /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
53	10, 51, 52	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ph -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
54	50, 53	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
55	51	eluz1i 9939	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ /\ 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
56	12, 54, 55	sylanbrc 421	. . 3 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
57	7	nnzd 9772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
58		3nn 9472	. . . . . 6 |- 3 e. NN
59		znq 10034	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 3 e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. QQ )
60	57, 58, 59	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. QQ )
61	60	flqcld 10725	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ZZ )
62	12	zred 9773	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. RR )
63	45	rpge0d 10112	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
64	18, 63	resqrtcld 11946	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR )
65		nndivre 9343	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR )
66	18, 58, 65	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR )
67		flaplelt 10724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. QQ \/ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ A. q e. QQ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) # q ) ) -> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) /\ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) < ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) ) )
68	10, 67	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) /\ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) < ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) + 1 ) ) )
69	68	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
70		3re 9381	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. RR
71	70	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 3 e. RR )
72	45	sqrtgt0d 11942	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
73		lemul2 9190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 3 e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 0 < ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
74	71, 64, 64, 72, 73	syl112anc 1282	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
75	50, 74	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
76		remsqsqrt 11814	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) = ( 2 x. N ) )
77	18, 63, 76	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) = ( 2 x. N ) )
78	75, 77	breqtrd 4156	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) )
79		3pos 9401	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 3
80	70, 79	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
81	80	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) )
82		lemuldiv 9214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
83	64, 18, 81, 82	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
84	78, 83	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
85	62, 64, 66, 69, 84	letrd 8452	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
86		flqge 10730	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. QQ /\ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) <-> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
87	60, 12, 86	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) <-> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
88	85, 87	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
89		eluz2 9937	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
90	12, 61, 88, 89	syl3anbrc 1212	. . 3 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
91		elfzuzb 10433	. . 3 |- ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( 3 ... ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) ) )
92	56, 90, 91	sylanbrc 421	. 2 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( 3 ... ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
93		bpos.5	. 2 |- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
94		bpos.4	. . 3 |- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
95	94	oveq2i 6096	. 2 |- ( 3 ... K ) = ( 3 ... ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
96	92, 93, 95	3eltr4g 2324	1 |- ( ph -> M e. ( 3 ... K ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   ifcif 3638   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8179   0cc0 8180   1c1 8181   + caddc 8183   x. cmul 8185   < clt 8361   <_ cle 8362   # cap 8912   / cdiv 9005   NNcn 9307   2c2 9358   3c3 9359   5c5 9361   9c9 9365   NN0cn0 9568   ZZcz 9649  ;cdc 9782   ZZ>=cuz 9931   QQcq 10029   ...cfz 10422   |_cfl 10714   ^cexp 10990   _C cbc 11201   sqrcsqrt 11778   Primecprime 12904   pCnt cpc 13086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-dvds 12574  df-gcd 12750  df-numer 12982  df-denom 12983

This theorem is used by:  bposlem6  16277