Theorem flqlelt 10366

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqlelt	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))

Proof of Theorem flqlelt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flval 10362	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
3	2	eqcomd 2202	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴))
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴))
5		flqcl 10363	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
6		qbtwnz 10341	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
7		breq1 4036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴))
8		oveq1 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝑥 + 1) = ((⌊‘𝐴) + 1))
9	8	breq2d 4045	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
10	7, 9	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝐴) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))))
11	10	riota2 5900	. . 3 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
12	5, 6, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (⌊‘𝐴)))
13	4, 12	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃!wreu 2477   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  ℩crio 5876  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   ≤ cle 8062  ℤcz 9326  ℚcq 9693  ⌊cfl 10358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360

This theorem is referenced by:  flqle  10368  flqltp1  10369  flqltnz  10377  gausslemma2dlem3  15304