Theorem fznn 10125

Description: Finite set of sequential integers starting at 1. (Contributed by NM, 31-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn	|- ( N e. ZZ -> ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem fznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10055	. . 3 |- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
2		elnnuz 9600	. . . 4 |- ( K e. NN <-> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
3	2	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
4	1, 3	bitr4i 187	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )
5		nnz 9307	. . . . 5 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
6		eluz 9576	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
7	5, 6	sylan 283	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
8	7	ancoms 268	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> K <_ N ) )
9	8	pm5.32da 452	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( K e. NN /\ K <_ N ) ) )
10	4, 9	bitrid 192	1 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4021   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   1c1 7847   <_ cle 8028   NNcn 8954   ZZcz 9288   ZZ>=cuz 9563   ...cfz 10044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-inn 8955  df-z 9289  df-uz 9564  df-fz 10045

This theorem is referenced by:  sumeq2  11408  prodeq2  11606  fprodseq  11632  dvdsssfz1  11899  prmind2  12163  lgseisenlem1  14936  lgseisenlem2  14937  2sqlem8  14956