Theorem fznn 10210

Description: Finite set of sequential integers starting at 1. (Contributed by NM, 31-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem fznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 10140	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2		elnnuz 9684	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	anbi1i 458	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 3	bitr4i 187	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
5		nnz 9390	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
6		eluz 9660	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
7	5, 6	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
8	7	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
9	8	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10	4, 9	bitrid 192	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  1c1 7925   ≤ cle 8107  ℕcn 9035  ℤcz 9371  ℤ_≥cuz 9647  ...cfz 10129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130

This theorem is referenced by:  sumeq2  11641  prodeq2  11839  fprodseq  11865  dvdsssfz1  12134  prmind2  12413  lgseisenlem1  15518  lgseisenlem2  15519  lgseisenlem3  15520  lgsquadlem1  15525  lgsquadlem2  15526  2sqlem8  15571