Theorem fzpreddisj 10073

Description: A finite set of sequential integers is disjoint with its predecessor. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzpreddisj	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzpreddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3329	. 2 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁))
2		0lt1 8086	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
3		0z 9266	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		1z 9281	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		zltnle 9301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
7	2, 6	mpbi 145	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
8		eluzel2 9535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	zred 9377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		1re 7958	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		leaddle0 8436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ 0))
13	7, 12	mtbiri 675	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑀 + 1) ≤ 𝑀)
14	13	intnanrd 932	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
15	14	intnand 931	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
16		elfz2 10017	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
17	15, 16	sylnibr 677	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
18		disjsn 3656	. . 3 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
19	17, 18	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
20	1, 19	eqtr3id 2224	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∩ cin 3130  ∅c0 3424  {csn 3594   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   ≤ cle 7995  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011

This theorem is referenced by: (None)