Theorem grpsubadd 13694

Description: Relationship between group subtraction and addition. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubadd	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem grpsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubadd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubadd.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		eqid 2230	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
4		grpsubadd.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpsubval 13652	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
6	5	3adant3 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
7	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
8	7	eqeq1d 2239	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
9		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simpr1 1029	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 3	grpinvcl 13654	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	11	3ad2antr2 1189	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵)
13	1, 2	grpcl 13614	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
14	9, 10, 12, 13	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵)
15		simpr3 1031	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
16		simpr2 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	1, 2	grprcan 13643	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
18	9, 14, 15, 16, 17	syl13anc 1275	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) = 𝑍))
19	1, 2	grpass 13615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)))
20	9, 10, 12, 16, 19	syl13anc 1275	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)))
21		eqid 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
22	1, 2, 21, 3	grplinv 13656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌) = (0g‘𝐺))
23	22	3ad2antr2 1189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌) = (0g‘𝐺))
24	23	oveq2d 6039	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (((invg‘𝐺)‘𝑌) + 𝑌)) = (𝑋 + (0g‘𝐺)))
25	1, 2, 21	grprid 13638	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
26	25	3ad2antr1 1188	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + (0g‘𝐺)) = 𝑋)
27	20, 24, 26	3eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = 𝑋)
28	27	eqeq1d 2239	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + ((invg‘𝐺)‘𝑌)) + 𝑌) = (𝑍 + 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑍 + 𝑌)))
29	8, 18, 28	3bitr2d 216	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ 𝑋 = (𝑍 + 𝑌)))
30		eqcom 2232	. 2 ⊢ (𝑋 = (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋)
31	29, 30	bitrdi 196	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) = 𝑍 ↔ (𝑍 + 𝑌) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183  0_gc0g 13362  Grpcgrp 13606  inv_gcminusg 13607  -_gcsg 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-inn 9149  df-2 9207  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-sbg 13611

This theorem is referenced by:  grpsubsub4  13699  conjghm  13886  conjnmzb  13890  ablsubadd  13922  ablsubsub23  13935