Theorem gt0ap0 8585

Description: Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem gt0ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2	1	olcd 734	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
3		0red 7960	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
4		reaplt 8547	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
5	3, 4	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
6	2, 5	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ℝcr 7812  0cc0 7813   < clt 7994   # cap 8540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541

This theorem is referenced by:  gt0ap0i  8586  gt0ap0d  8588  recgt0  8809  lediv1  8828  gt0div  8829  ge0div  8830  ltdivmul  8835  ltdiv2  8846  recreclt  8859  nnrecl  9176  recnz  9348  divelunit  10004