Theorem gt0ap0 8849

Description: Positive implies apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ap0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem gt0ap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2	1	olcd 742	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
3		0red 8223	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
4		reaplt 8811	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
5	3, 4	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
6	2, 5	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  0cc0 8075   < clt 8257   # cap 8804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805

This theorem is referenced by:  gt0ap0i  8850  gt0ap0d  8852  recgt0  9073  lediv1  9092  gt0div  9093  ge0div  9094  ltdivmul  9099  ltdiv2  9110  recreclt  9123  nnrecl  9443  recnz  9616  divelunit  10280