Theorem lediv1 8651

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
lediv1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> ( A / C ) <_ ( B / C ) ) )

Proof of Theorem lediv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv1 8650	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( B < A <-> ( B / C ) < ( A / C ) ) )
2	1	3com12 1186	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( B < A <-> ( B / C ) < ( A / C ) ) )
3	2	notbid 657	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( -. B < A <-> -. ( B / C ) < ( A / C ) ) )
4		lenlt 7864	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	4	3adant3 1002	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6		gt0ap0 8412	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> C # 0 )
7	6	3adant1 1000	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ 0 < C ) -> C # 0 )
8		redivclap 8515	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ C # 0 ) -> ( A / C ) e. RR )
9	7, 8	syld3an3 1262	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ 0 < C ) -> ( A / C ) e. RR )
10	9	3expb 1183	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A / C ) e. RR )
11	10	3adant2 1001	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A / C ) e. RR )
12	6	3adant1 1000	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ 0 < C ) -> C # 0 )
13		redivclap 8515	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ C # 0 ) -> ( B / C ) e. RR )
14	12, 13	syld3an3 1262	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ 0 < C ) -> ( B / C ) e. RR )
15	14	3expb 1183	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( B / C ) e. RR )
16	15	3adant1 1000	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( B / C ) e. RR )
17	11, 16	lenltd 7904	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) <_ ( B / C ) <-> -. ( B / C ) < ( A / C ) ) )
18	3, 5, 17	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> ( A / C ) <_ ( B / C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   < clt 7824   <_ cle 7825   # cap 8367   / cdiv 8456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457

This theorem is referenced by:  ge0div  8653  ledivmul  8659  lediv23  8675  lediv1d  9560  icccntr  9813  sin01bnd  11500  cos01bnd  11501  sin02gt0  11506  hashdvds  11933  cosordlem  12978