Theorem lediv1 8627

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
lediv1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> ( A / C ) <_ ( B / C ) ) )

Proof of Theorem lediv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv1 8626	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( B < A <-> ( B / C ) < ( A / C ) ) )
2	1	3com12 1185	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( B < A <-> ( B / C ) < ( A / C ) ) )
3	2	notbid 656	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( -. B < A <-> -. ( B / C ) < ( A / C ) ) )
4		lenlt 7840	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	4	3adant3 1001	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6		gt0ap0 8388	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> C # 0 )
7	6	3adant1 999	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ 0 < C ) -> C # 0 )
8		redivclap 8491	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ C # 0 ) -> ( A / C ) e. RR )
9	7, 8	syld3an3 1261	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR /\ 0 < C ) -> ( A / C ) e. RR )
10	9	3expb 1182	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A / C ) e. RR )
11	10	3adant2 1000	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A / C ) e. RR )
12	6	3adant1 999	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ 0 < C ) -> C # 0 )
13		redivclap 8491	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ C # 0 ) -> ( B / C ) e. RR )
14	12, 13	syld3an3 1261	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR /\ 0 < C ) -> ( B / C ) e. RR )
15	14	3expb 1182	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( B / C ) e. RR )
16	15	3adant1 999	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( B / C ) e. RR )
17	11, 16	lenltd 7880	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) <_ ( B / C ) <-> -. ( B / C ) < ( A / C ) ) )
18	3, 5, 17	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ B <-> ( A / C ) <_ ( B / C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   < clt 7800   <_ cle 7801   # cap 8343   / cdiv 8432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433

This theorem is referenced by:  ge0div  8629  ledivmul  8635  lediv23  8651  lediv1d  9530  icccntr  9783  sin01bnd  11464  cos01bnd  11465  sin02gt0  11470  hashdvds  11897  cosordlem  12930