Theorem ltdivmul 9209

Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ltdivmul	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) < B <-> A < ( C x. B ) ) )

Proof of Theorem ltdivmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 8308	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C x. B ) e. RR )
2	1	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C x. B ) e. RR )
3	2	adantrr 483	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( C x. B ) e. RR )
4	3	3adant1 1046	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( C x. B ) e. RR )
5		ltdiv1 9201	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( C x. B ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < ( C x. B ) <-> ( A / C ) < ( ( C x. B ) / C ) ) )
6	4, 5	syld3an2 1325	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < ( C x. B ) <-> ( A / C ) < ( ( C x. B ) / C ) ) )
7		recn 8313	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> B e. CC )
9		recn 8313	. . . . . 6 |- ( C e. RR -> C e. CC )
10	9	ad2antrl 494	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> C e. CC )
11		gt0ap0 8957	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> C # 0 )
12	11	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> C # 0 )
13	8, 10, 12	divcanap3d 9128	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( C x. B ) / C ) = B )
14	13	3adant1 1046	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( C x. B ) / C ) = B )
15	14	breq2d 4142	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) < ( ( C x. B ) / C ) <-> ( A / C ) < B ) )
16	6, 15	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) < B <-> A < ( C x. B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8178   RRcr 8179   0cc0 8180   x. cmul 8185   < clt 8361   # cap 8912   / cdiv 9005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006

This theorem is used by:  ltdivmul2  9211  lt2mul2div  9212  ltrec  9216  avglt2  9550  3halfnz  9748  ltdivmuld  10160  modqid  10801  expnbnd  11116  mertenslemi1  12321  eirraplem  12563  fldivp1  13150  pcfaclem  13151  4sqlem12  13204  dveflem  15918  coseq0negpitopi  16029  tangtx  16031  cosordlem  16042  cos02pilt1  16044  birthdaylem3  16188  ppiqub  16254  bposlem1  16272  bposlem2  16273  bposlem6  16277  bposlem8  16279  gausslemma2dlem0c  16336  lgsquadlem1  16362  2sqlem8  16408  ex-fl  16905