Theorem ltdivmul 9098

Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ltdivmul	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) < B <-> A < ( C x. B ) ) )

Proof of Theorem ltdivmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 8203	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C x. B ) e. RR )
2	1	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C x. B ) e. RR )
3	2	adantrr 479	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( C x. B ) e. RR )
4	3	3adant1 1042	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( C x. B ) e. RR )
5		ltdiv1 9090	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( C x. B ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < ( C x. B ) <-> ( A / C ) < ( ( C x. B ) / C ) ) )
6	4, 5	syld3an2 1321	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < ( C x. B ) <-> ( A / C ) < ( ( C x. B ) / C ) ) )
7		recn 8208	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> B e. CC )
9		recn 8208	. . . . . 6 |- ( C e. RR -> C e. CC )
10	9	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> C e. CC )
11		gt0ap0 8848	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> C # 0 )
12	11	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> C # 0 )
13	8, 10, 12	divcanap3d 9017	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( C x. B ) / C ) = B )
14	13	3adant1 1042	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( C x. B ) / C ) = B )
15	14	breq2d 4105	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) < ( ( C x. B ) / C ) <-> ( A / C ) < B ) )
16	6, 15	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) < B <-> A < ( C x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   x. cmul 8080   < clt 8256   # cap 8803   / cdiv 8894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895

This theorem is referenced by:  ltdivmul2  9100  lt2mul2div  9101  ltrec  9105  avglt2  9426  3halfnz  9621  ltdivmuld  10027  modqid  10657  expnbnd  10971  mertenslemi1  12159  eirraplem  12401  fldivp1  12984  pcfaclem  12985  4sqlem12  13038  dveflem  15520  coseq0negpitopi  15630  tangtx  15632  cosordlem  15643  cos02pilt1  15645  gausslemma2dlem0c  15853  lgsquadlem1  15879  2sqlem8  15925  ex-fl  16422