ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfzo Unicode version
Theorem hashfzo 11044
Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfzo |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) )
Proof of Theorem hashfzo
StepHypRef Expression
1 fzo0 10366 . . . . . 6 |- ( A..^ A ) = (/)
21fveq2i 5630 . . . . 5 |- (♯ ` ( A..^ A ) ) = (♯ ` (/) )
3 hash0 11018 . . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
42, 3eqtri 2250 . . . 4 |- (♯ ` ( A..^ A ) ) = 0
5 eluzel2 9727 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. ZZ )
65zcnd 9570 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. CC )
76subidd 8445 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A - A ) = 0 )
84, 7eqtr4id 2281 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ A ) ) = ( A - A ) )
9 oveq2 6009 . . . . 5 |- ( B = A -> ( A..^ B ) = ( A..^ A ) )
109fveq2d 5631 . . . 4 |- ( B = A -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = (♯ ` ( A..^ A ) ) )
11 oveq1 6008 . . . 4 |- ( B = A -> ( B - A ) = ( A - A ) )
1210, 11eqeq12d 2244 . . 3 |- ( B = A -> ( (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) <-> (♯ ` ( A..^ A ) ) = ( A - A ) ) )
138, 12syl5ibrcom 157 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B = A -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) ) )
14 eluzelz 9731 . . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
15 fzoval 10344 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
1614, 15syl 14 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
1716fveq2d 5631 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) )
1817adantr 276 . . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) )
19 hashfz 11043 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) = ( ( ( B - 1 ) - A ) + 1 ) )
2014zcnd 9570 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. CC )
21 1cnd 8162 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 1 e. CC )
2220, 21, 6sub32d 8489 . . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( B - 1 ) - A ) = ( ( B - A ) - 1 ) )
2322oveq1d 6016 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( B - 1 ) - A ) + 1 ) = ( ( ( B - A ) - 1 ) + 1 ) )
2420, 6subcld 8457 . . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B - A ) e. CC )
25 ax-1cn 8092 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
26 npcan 8355 . . . . . . 7 |- ( ( ( B - A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( B - A ) - 1 ) + 1 ) = ( B - A ) )
2724, 25, 26sylancl 413 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( B - A ) - 1 ) + 1 ) = ( B - A ) )
2823, 27eqtrd 2262 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( B - 1 ) - A ) + 1 ) = ( B - A ) )
2919, 28sylan9eqr 2284 . . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) -> (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) = ( B - A ) )
3018, 29eqtrd 2262 . . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) )
3130ex 115 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) ) )
32 uzm1 9753 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B = A \/ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
3313, 31, 32mpjaod 723 1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   (/)c0 3491   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   - cmin 8317   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204  ..^cfzo 10338  ♯chash 10997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-ihash 10998
This theorem is referenced by:  hashfzo0  11045
  Copyright terms: Public domain W3C validator