ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfzo Unicode version
Theorem hashfzo 10893
Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfzo |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) )
Proof of Theorem hashfzo
StepHypRef Expression
1 fzo0 10235 . . . . . 6 |- ( A..^ A ) = (/)
21fveq2i 5557 . . . . 5 |- (♯ ` ( A..^ A ) ) = (♯ ` (/) )
3 hash0 10867 . . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
42, 3eqtri 2214 . . . 4 |- (♯ ` ( A..^ A ) ) = 0
5 eluzel2 9597 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. ZZ )
65zcnd 9440 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. CC )
76subidd 8318 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A - A ) = 0 )
84, 7eqtr4id 2245 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ A ) ) = ( A - A ) )
9 oveq2 5926 . . . . 5 |- ( B = A -> ( A..^ B ) = ( A..^ A ) )
109fveq2d 5558 . . . 4 |- ( B = A -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = (♯ ` ( A..^ A ) ) )
11 oveq1 5925 . . . 4 |- ( B = A -> ( B - A ) = ( A - A ) )
1210, 11eqeq12d 2208 . . 3 |- ( B = A -> ( (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) <-> (♯ ` ( A..^ A ) ) = ( A - A ) ) )
138, 12syl5ibrcom 157 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B = A -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) ) )
14 eluzelz 9601 . . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
15 fzoval 10214 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
1614, 15syl 14 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
1716fveq2d 5558 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) )
1817adantr 276 . . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) )
19 hashfz 10892 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) = ( ( ( B - 1 ) - A ) + 1 ) )
2014zcnd 9440 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. CC )
21 1cnd 8035 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 1 e. CC )
2220, 21, 6sub32d 8362 . . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( B - 1 ) - A ) = ( ( B - A ) - 1 ) )
2322oveq1d 5933 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( B - 1 ) - A ) + 1 ) = ( ( ( B - A ) - 1 ) + 1 ) )
2420, 6subcld 8330 . . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B - A ) e. CC )
25 ax-1cn 7965 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
26 npcan 8228 . . . . . . 7 |- ( ( ( B - A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( B - A ) - 1 ) + 1 ) = ( B - A ) )
2724, 25, 26sylancl 413 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( B - A ) - 1 ) + 1 ) = ( B - A ) )
2823, 27eqtrd 2226 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( B - 1 ) - A ) + 1 ) = ( B - A ) )
2919, 28sylan9eqr 2248 . . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) -> (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) = ( B - A ) )
3018, 29eqtrd 2226 . . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) )
3130ex 115 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) ) )
32 uzm1 9623 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B = A \/ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
3313, 31, 32mpjaod 719 1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   (/)c0 3446   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074  ..^cfzo 10208  ♯chash 10846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-ihash 10847
This theorem is referenced by:  hashfzo0  10894
  Copyright terms: Public domain W3C validator