ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfzo Unicode version
Theorem hashfzo 11212
Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfzo |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) )
Proof of Theorem hashfzo
StepHypRef Expression
1 fzo0 10526 . . . . . 6 |- ( A..^ A ) = (/)
21fveq2i 5678 . . . . 5 |- (♯ ` ( A..^ A ) ) = (♯ ` (/) )
3 hash0 11184 . . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
42, 3eqtri 2255 . . . 4 |- (♯ ` ( A..^ A ) ) = 0
5 eluzel2 9876 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. ZZ )
65zcnd 9719 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> A e. CC )
76subidd 8588 . . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A - A ) = 0 )
84, 7eqtr4id 2286 . . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ A ) ) = ( A - A ) )
9 oveq2 6066 . . . . 5 |- ( B = A -> ( A..^ B ) = ( A..^ A ) )
109fveq2d 5679 . . . 4 |- ( B = A -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = (♯ ` ( A..^ A ) ) )
11 oveq1 6065 . . . 4 |- ( B = A -> ( B - A ) = ( A - A ) )
1210, 11eqeq12d 2249 . . 3 |- ( B = A -> ( (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) <-> (♯ ` ( A..^ A ) ) = ( A - A ) ) )
138, 12syl5ibrcom 157 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B = A -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) ) )
14 eluzelz 9881 . . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. ZZ )
15 fzoval 10504 . . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
1614, 15syl 14 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ B ) = ( A ... ( B - 1 ) ) )
1716fveq2d 5679 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) )
1817adantr 276 . . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) )
19 hashfz 11211 . . . . 5 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) = ( ( ( B - 1 ) - A ) + 1 ) )
2014zcnd 9719 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. CC )
21 1cnd 8306 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> 1 e. CC )
2220, 21, 6sub32d 8632 . . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( B - 1 ) - A ) = ( ( B - A ) - 1 ) )
2322oveq1d 6073 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( B - 1 ) - A ) + 1 ) = ( ( ( B - A ) - 1 ) + 1 ) )
2420, 6subcld 8600 . . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B - A ) e. CC )
25 ax-1cn 8236 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
26 npcan 8498 . . . . . . 7 |- ( ( ( B - A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( B - A ) - 1 ) + 1 ) = ( B - A ) )
2724, 25, 26sylancl 413 . . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( B - A ) - 1 ) + 1 ) = ( B - A ) )
2823, 27eqtrd 2267 . . . . 5 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( ( B - 1 ) - A ) + 1 ) = ( B - A ) )
2919, 28sylan9eqr 2289 . . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) -> (♯ ` ( A ... ( B - 1 ) ) ) = ( B - A ) )
3018, 29eqtrd 2267 . . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) )
3130ex 115 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) ) )
32 uzm1 9903 . 2 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( B = A \/ ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
3313, 31, 32mpjaod 726 1 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> (♯ ` ( A..^ B ) ) = ( B - A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   (/)c0 3512   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8460   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164
This theorem is referenced by:  hashfzo0  11213
  Copyright terms: Public domain W3C validator