Theorem hashtpg 11215

Description: The size of an unordered triple of three different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashtpg	|- ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) -> ( ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) <-> (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) )

Proof of Theorem hashtpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashtpgim 11213	. 2 |- ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) -> ( ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) -> (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) )
2		simpl3 1029	. . . . 5 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) /\ (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) -> C e. W )
3		simpl1 1027	. . . . 5 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) /\ (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) -> A e. U )
4		simpl2 1028	. . . . 5 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) /\ (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) -> B e. V )
5		tprot 3783	. . . . . . 7 |- { C , A , B } = { A , B , C }
6	5	fveq2i 5672	. . . . . 6 |- (♯ ` { C , A , B } ) = (♯ ` { A , B , C } )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) /\ (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) -> (♯ ` { A , B , C } ) = 3 )
8	6, 7	eqtrid 2277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) /\ (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) -> (♯ ` { C , A , B } ) = 3 )
9	2, 3, 4, 8	hashtpglem 11214	. . . 4 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) /\ (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) -> A =/= B )
10	3, 4, 2, 7	hashtpglem 11214	. . . 4 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) /\ (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) -> B =/= C )
11		tprot 3783	. . . . . . 7 |- { A , B , C } = { B , C , A }
12	11	fveq2i 5672	. . . . . 6 |- (♯ ` { A , B , C } ) = (♯ ` { B , C , A } )
13	12, 7	eqtr3id 2279	. . . . 5 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) /\ (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) -> (♯ ` { B , C , A } ) = 3 )
14	4, 2, 3, 13	hashtpglem 11214	. . . 4 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) /\ (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) -> C =/= A )
15	9, 10, 14	3jca 1204	. . 3 |- ( ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) /\ (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) -> ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) )
16	15	ex 115	. 2 |- ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) -> ( (♯ ` { A , B , C } ) = 3 -> ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) ) )
17	1, 16	impbid 129	1 |- ( ( A e. U /\ B e. V /\ C e. W ) -> ( ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) <-> (♯ ` { A , B , C } ) = 3 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   {ctp 3690   ` cfv 5351   3c3 9288  ♯chash 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-ihash 11137

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  16479